Winkelhalbierenden im Dreieck < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
wir sollen zeigen, dass sich in einem dreieck die winkelhalbierenden in einem punkt schneiden. die geradengleichungen für die winkelhalbierenden habe zwar aufgestellt, doch weiß ich nicht wie ich diese für allgemeine werte schneiden lassen kann um auf das zu zeigende ergebnis zu kommen. mein problem sind die vielen verschiedenen parameter und komponenten. wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte.
die aufgabe lautete:
Es sei D das von [mm] \vec{a} ,\vec{b} \in \IR^3 [/mm] aufgespannte Dreieck. zeigen Sie: die Winkelhalbierenden des Dreiecks D schneiden sich in einem Punkt. Dieses ist [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{U} \* [/mm] ( [mm] |\vec{b}| \*\vec{a} [/mm] + [mm] |\vec{a}| \*\vec{b} [/mm] ), wobei U der Umfang des Dreiecks ist.
Hinweis: Sie dürfen benutzen: Für linear unabhängige [mm] \vec{a} ,\vec{b} [/mm] ist [mm] \bruch{1}{| \vec{a} |} \* \vec{a} [/mm] + [mm] \bruch{1}{| \vec{b} |} \* \vec{b} [/mm] ein Vektor in Richtung der Winkelhalbierenden zwischen [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b}.
[/mm]
Ich habe folgende Geraden gleichungen für die Winkelhalbierenden aufgestellt:
w ( [mm] \vec{a} [/mm] , [mm] \vec{b} [/mm] ) : [mm] \vec{r} [/mm] = [mm] \lambda \* [/mm] ( [mm] \bruch{1}{| \vec{a} |} \* \vec{a} [/mm] + [mm] \bruch{1}{| \vec{b} |} \* \vec{b} [/mm] )
w ( [mm] \vec{a} [/mm] , [mm] \vec{a} [/mm] - [mm] \vec{b} [/mm] ) : [mm] \vec{s} [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] + [mm] \mu \* [/mm] ( [mm] \bruch{\vec{a}}{\vec{b}} [/mm] + [mm] \bruch{\vec{a} - \vec{b}}{| \vec{a} - \vec{b} |} [/mm] )
w ( [mm] \vec{a} [/mm] - [mm] \vec{b} [/mm] , [mm] \vec{b} [/mm] ) : [mm] \vec{t} [/mm] = [mm] \vec{b} [/mm] + [mm] \nu \* [/mm] ( [mm] \bruch{\vec{a} - \vec{b}}{| \vec{a} - \vec{b} |} [/mm] - [mm] \bruch{\vec{b}}{|\vec{b}|} [/mm] )
helfen mir diese gleichungen überhaupt?
MfG The_master
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> Hallo,
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> wir sollen zeigen, dass sich in einem dreieck die
> winkelhalbierenden in einem punkt schneiden. die
> geradengleichungen für die winkelhalbierenden habe zwar
> aufgestellt, doch weiß ich nicht wie ich diese für
> allgemeine werte schneiden lassen kann um auf das zu
> zeigende ergebnis zu kommen. mein problem sind die vielen
> verschiedenen parameter und komponenten. wäre nett, wenn
> mir jemand helfen könnte.
>
> die aufgabe lautete:
> Es sei D das von [mm]\vec{a} ,\vec{b} \in \IR^3[/mm] aufgespannte
> Dreieck. zeigen Sie: die Winkelhalbierenden des Dreiecks D
> schneiden sich in einem Punkt. Dieses ist [mm]\vec{x}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{U} \*[/mm] ( [mm]|\vec{b}| \*\vec{a}[/mm] + [mm]|\vec{a}| \*\vec{b}[/mm]
> ), wobei U der Umfang des Dreiecks ist.
> Hinweis: Sie dürfen benutzen: Für linear unabhängige
> [mm]\vec{a} ,\vec{b}[/mm] ist [mm]\bruch{1}{| \vec{a} |} \* \vec{a}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{| \vec{b} |} \* \vec{b}[/mm] ein Vektor in Richtung
> der Winkelhalbierenden zwischen [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}.[/mm]
>
> Ich habe folgende Geraden gleichungen für die
> Winkelhalbierenden aufgestellt:
>
> w ( [mm]\vec{a}[/mm] , [mm]\vec{b}[/mm] ) : [mm]\vec{r}[/mm] = [mm]\lambda \*[/mm] (
> [mm]\bruch{1}{| \vec{a} |} \* \vec{a}[/mm] + [mm]\bruch{1}{| \vec{b} |} \* \vec{b}[/mm]
> )
>
> w ( [mm]\vec{a}[/mm] , [mm]\vec{a}[/mm] - [mm]\vec{b}[/mm] ) : [mm]\vec{s}[/mm] = [mm]\vec{a}[/mm] + [mm]\mu \*[/mm]
> ( [mm]\bruch{1}{| \vec{a} - \vec{b} |} \*[/mm] \ (vec{a} - [mm]\vec{b}[/mm] )
> - [mm]\bruch{\vec{b}}{| \vec{b} |}[/mm]
>
> w ( [mm]\vec{a}[/mm] - [mm]\vec{b}[/mm] , [mm]\vec{b}[/mm] ) : [mm]\vec{t}[/mm] = [mm]\vec{b}[/mm] + [mm]\nu \*[/mm]
> ( [mm]\bruch{\vec{a} - \vec{b}}{| \vec{a} - \vec{b} |}[/mm] +
> [mm]\bruch{\vec{a} - \vec{b}}{| \vec{a} - \vec{b} |}[/mm] )
Die untere Gleichung meintest Du bestimmt so:
w ( [mm] \vec{a} -\vec{b} [/mm] , [mm] \vec{b} [/mm] ) : [mm] \vec{t} [/mm] = [mm] \vec{b} [/mm] + [mm] \nu \* (\bruch{\vec{a} - \vec{b}}{| \vec{a} - \vec{b} |}+ \bruch{\vec{b}}{|\vec{b}|} [/mm] )
Sie gibt Dir die Winkelhalbierende zwischen [mm] \vec{b} [/mm] und [mm] {\vec{a} - \vec{b}}.
[/mm]
Nur - für Dein Dreieck brauchst Du die Winkelhalbierende zwischen [mm] {\vec{a} - \vec{b}} [/mm] und [mm] -\vec{b}! [/mm] Guck Dir das mal auf einem Bildchen an.
>
> helfen mir diese gleichungen überhaupt?
Ja. Es sind Geradengleichungen. Setzt Du zwei davon gleich, kannst du den Schnittpunkt ausrechnen.
(Setze w ( [mm]\vec{a}[/mm] , [mm]\vec{b}[/mm] )=w ( [mm]\vec{a}[/mm] , [mm]\vec{a}[/mm] - [mm]\vec{b}[/mm] ). Sortier es nach [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b}. [/mm] Die beiden Vektoren sind lin. unabh., also müssen deren Vorfaktoren =0 sein. Also kriegst Du zwei Gleichungen mit den Variablen [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu, [/mm] und dieses GS mußt Du lösen. Dann das "fertige" [mm] \lambda [/mm] in die Geradengleichung eingesetzt, und schon hast Du den Schnittpunkt)
Dann mußt Du ausrechnen, ob der Schnittpunkt mit der dritten Geraden denselben Punkt ergibt.
Viel Erfolg!
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:48 Di 01.11.2005 | | Autor: | The_master |
hallo angela !!
die geradengleichungen waren nicht ganz richtig, hab ich eben verbessert. ich hatte sie schon richtig, aber hatte einem kumpel gesagt, er sollte es reinstellen, weil ich gestern keine zeit hatte und der konnte wohl nicht so richtig mit dem formeleditor umgehen ;)
danke für deine hilfe, hatte bisher auch versucht die drei geraden gleichzeitig zu schneiden, aber werd das gleichmal versuchen. hatte es auch mit zweien versucht, muss mich dann wohl aber irgendwo verrechnet haben.
MfG The_master
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