Wirtinger Ableitung < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:24 Do 14.01.2010 | | Autor: | meauw |
Hallo.
Ich habe eine Verständnisfrage zur Wirtinger-Ableitung in der
komplexen Analysis.
Was mir nicht klar ist:
Warum kann man z und conjugate{z} wie zwei unabhängige Variablen
betrachten und so entsprechend nach ihnen differenzieren?
Dies ist offensichtlich der Fall, denn ich habe auf verschiedene Funktionen
den Wirtinger-Operator angewendet und es ist genau das rauskommen
was man erhalten hätte wenn an nach conjugate{z} abgeleitet hätte.
Was mir klar ist, ist, dass...
[mm] Df(z_0)(h)=f_{z}(z_0)*h+f_{conjugate(z)}(z_0) [/mm] * conjugate(h)
für die Ableitungsmatrix schreiben kann.
Dabei sind [mm] f_{conjugate(z)}(z_0) [/mm] und [mm] f_{z}(z_0) [/mm] die Wirtinger-Operatoren
(Definition kann bei wikipedia nachgeschlagen werden) Man schreibt die Ableitung also quasi als Linearkombination von z und z konjugiert.
Vielen Dank im voraus für Antworten!!
Gruss!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:49 Do 14.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo.
> Ich habe eine Verständnisfrage zur Wirtinger-Ableitung in
> der
> komplexen Analysis.
> Was mir nicht klar ist:
> Warum kann man z und conjugate{z} wie zwei unabhängige
> Variablen
> betrachten
Besser nicht.
Die Sache ist die: es gilt folgender
Satz: Ist D eine offene Teilmenge von [mm] \IC, [/mm] $f: D [mm] \to \IC$ [/mm] reell differenzierbar und [mm] z_0 \in [/mm] D. Dann gibt es eindeutig bestimmte a, b [mm] \in \IC [/mm] mit:
[mm] $Df(z_0)(h) [/mm] = a*h+b* [mm] \overline{h}$.
[/mm]
Diese Zahlen nennt man Wirtinger-Ableitungen und man schreibt:
$ [mm] f_z(z_0) [/mm] =a$ und [mm] $f_{\overline{z}}(z_0) [/mm] =b$
> und so entsprechend nach ihnen differenzieren?
> Dies ist offensichtlich der Fall, denn ich habe auf
> verschiedene Funktionen
> den Wirtinger-Operator angewendet und es ist genau das
> rauskommen
> was man erhalten hätte wenn an nach conjugate{z}
> abgeleitet hätte.
Eben, das ist ja das schöne am Wirtinger-Kalkül
FRED
> Was mir klar ist, ist, dass...
> [mm]Df(z_0)(h)=f_{z}(z_0)*h+f_{conjugate(z)}(z_0)[/mm] *
> conjugate(h)
> für die Ableitungsmatrix schreiben kann.
> Dabei sind [mm]f_{conjugate(z)}(z_0)[/mm] und [mm]f_{z}(z_0)[/mm] die
> Wirtinger-Operatoren
> (Definition kann bei wikipedia nachgeschlagen werden) Man
> schreibt die Ableitung also quasi als Linearkombination von
> z und z konjugiert.
>
> Vielen Dank im voraus für Antworten!!
> Gruss!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:26 Do 14.01.2010 | | Autor: | meauw |
Hi.
Also irgendwie ist mir noch nicht ganz klar warum das meine Frage beantwortet ^^.
Wieso kann ich jetzt einfach nach z bzw. z_konjugiert differenzieren?
Dieser Satz ist ir schon bekannt - ich hatte das grobe Ergebnis dieses Satze
im vorigen Posting schon erwähnt.
Mir ist klar das z und z_konjugiert keine unabhängigen Variablen sind und das man nur so tut ALS OB sie das wären. (sie sind es nicht!)
Also: Wieso folgt aus diesem Satz das ich einfach so nach z bzw. z_konjugiert differenzieren kann?
Gruss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:35 Do 14.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hi.
> Also irgendwie ist mir noch nicht ganz klar warum das meine
> Frage beantwortet ^^.
> Wieso kann ich jetzt einfach nach z bzw. z_konjugiert
> differenzieren?
> Dieser Satz ist ir schon bekannt - ich hatte das grobe
> Ergebnis dieses Satze
> im vorigen Posting schon erwähnt.
> Mir ist klar das z und z_konjugiert keine unabhängigen
> Variablen sind und das man nur so tut ALS OB sie das
> wären. (sie sind es nicht!)
> Also: Wieso folgt aus diesem Satz das ich einfach so nach z
> bzw. z_konjugiert differenzieren kann?
Aus dem Satz alleine folgt das nicht. Es gibt auch ein paar Regeln, denen der Kalkül unterliegt,
zum Bsp.:
(1) [mm] $f_z(z_0)= 1/2(f_x(z_0)-if_y(z_0))$
[/mm]
(2) [mm] $f_{\overline{z}} (z_0)= 1/2(f_x(z_0)+if_y(z_0))$
[/mm]
(3) f ist in [mm] z_0 [/mm] komplex differenzierbar [mm] \gdw $f_{\overline{z}}(z_0)=0$
[/mm]
FRED
>
> Gruss
>
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:09 Do 14.01.2010 | | Autor: | meauw |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ja. Aber das was du als f_{z}(z_0) bzw f__{conjugate(z)(z_0) definierst, warum sind das die "Ableitungen nach z bzw z konjugiert"?
Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Sa 16.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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