Wo liegen die Punkte z? < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:26 Fr 19.06.2009 | | Autor: | n0000b |
| Aufgabe | | Auf welcher Kurve liegen die Punkte z mit $ |z-2| = 2|z|$? |
Stimmt mein Ansatz:
$ |z-2| = 2|z| [mm] \gdw |z-2|^{2} [/mm] = [mm] 4|z|^{2} [/mm] $
$(z-2) [mm] (\bar{ z - 2} [/mm] ) = 4(z* [mm] \bar [/mm] z)$
$z* [mm] \bar [/mm] z -2z- [mm] \bar{2z} [/mm] = 4(z* [mm] \bar [/mm] z)$
$-2z- [mm] \bar{2z} [/mm] = 3(z* [mm] \bar [/mm] z)$
und wie geht es weiter?
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Hallo n0000b,
> Auf welcher Kurve liegen die Punkte z mit [mm]|z-2| = 2|z|[/mm]?
>
> Stimmt mein Ansatz:
>
> [mm]|z-2| = 2|z| \gdw |z-2|^{2} = 4|z|^{2}[/mm]
> [mm](z-2) (\bar{ z - 2} ) = 4(z* \bar z)[/mm]
>
> [mm]z* \bar z -2z- \bar{2z} = 4(z* \bar z)[/mm]
> [mm]-2z- \bar{2z} = 3(z* \bar z)[/mm]
>
> und wie geht es weiter?
Setze mal einfacher $z=x+iy$ ein und bedenke, dass [mm] $|z|=|x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}$ [/mm] ist.
Wenn ich das so auf die Schnelle richtig sehe, kommt eine Kreisgleichung [mm] $(x-x_m)^2+(y-y_m)^2=r^2$ [/mm] heraus. (Mittelpunkt [mm] $z_m=x_m+iy_m$ [/mm] und Radius $r$)
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 Fr 19.06.2009 | | Autor: | n0000b |
> Setze mal einfacher [mm]z=x+iy[/mm] ein und bedenke, dass
> [mm]|z|=|x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}[/mm] ist.
D.h. $ |z-2| = 2|z| [mm] \gdw \sqrt{x^2+y^2-2}= 2\sqrt{x^2+y^2} [/mm] $ so?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:11 Fr 19.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> > Setze mal einfacher [mm]z=x+iy[/mm] ein und bedenke, dass
> > [mm]|z|=|x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}[/mm] ist.
>
> D.h. [mm]|z-2| = 2|z| \gdw \sqrt{x^2+y^2-2}= 2\sqrt{x^2+y^2}[/mm]
> so?
Nein so:
[mm]|z-2| = 2|z| \gdw \sqrt{(x-2)^2+y^2}= 2\sqrt{x^2+y^2}[/mm]
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Fr 19.06.2009 | | Autor: | n0000b |
> [mm]|z-2| = 2|z| \gdw \sqrt{(x-2)^2+y^2}= 2\sqrt{x^2+y^2}[/mm]
Warum, wärest du so freundlich, mir das genauer zu erklären?
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Hallo nochmal,
> > [mm]|z-2| = 2|z| \gdw \sqrt{(x-2)^2+y^2}= 2\sqrt{x^2+y^2}[/mm]
>
> Warum, wärest du so freundlich, mir das genauer zu
> erklären?
Na, schreib dir das doch einfach mal hin (schön nach Real- und Imaginärteil sortieren!):
Mit $z=x+iy$ ist [mm] $|z-2|=|x+iy-2|=|\underbrace{(x-2)}_{\text{Realteil}}+iy|=\sqrt{(x-2)^2+y^2}$ [/mm] ...
usw.
LG
schachuzipus
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 Fr 19.06.2009 | | Autor: | n0000b |
Also ich bekomme jetzt:
$ [mm] \bruch{-4}{3}x+\bruch{4}{3}=x^{2}+y^{2}$
[/mm]
Jetzt hänge ich genauso fest. Was muss ich jetzt machen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:00 Sa 20.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Okay, okay! Ich nehme also alles zurück und behaupte das Gegenteil: es handelt sich natürlich um einen klassischen Kreis.
Gruß
Loddar
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> Also ich bekomme jetzt:
>
> [mm]\bruch{-4}{3}x+\bruch{4}{3}=x^{2}+y^{2}[/mm]
>
> Jetzt hänge ich genauso fest. Was muss ich jetzt machen?
Hier hilft die Methode der quadratischen Ergänzung, so
wie man sie zur Lösung quadratischer Gleichungen
einsetzen kann:
$\ [mm] x^{2}+y^{2}\ [/mm] =\ [mm] \bruch{-4}{3}\,x\,+\,\bruch{4}{3}$
[/mm]
$\ [mm] x^{2}+\bruch{4}{3}\,x+y^{2}\ [/mm] =\ [mm] \bruch{4}{3}$
[/mm]
$\ [mm] \underbrace{x^{2}+\bruch{4}{3}\,x\blue{\ +\ \bruch{4}{9}}}_{binom. Term}\ +\,y^{2}\ [/mm] =\ [mm] \bruch{4}{3}\blue{\ +\ \bruch{4}{9}}$
[/mm]
$\ [mm] \left(x+\bruch{2}{3}\right)^2+\,y^{2}\ [/mm] =\ [mm] \bruch{12}{9}+\bruch{4}{9}\ [/mm] =\ [mm] \bruch{16}{9}$
[/mm]
Und jetzt kann man sehen, dass dies die Gleichung
eines Kreises sein muss.
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 Fr 19.06.2009 | | Autor: | fred97 |
> Auf welcher Kurve liegen die Punkte z mit [mm]|z-2| = 2|z|[/mm]?
>
> Stimmt mein Ansatz:
>
> [mm]|z-2| = 2|z| \gdw |z-2|^{2} = 4|z|^{2}[/mm]
> [mm](z-2) (\bar{ z - 2} ) = 4(z* \bar z)[/mm]
>
> [mm]z* \bar z -2z- \bar{2z} = 4(z* \bar z)[/mm]
> [mm]-2z- \bar{2z} = 3(z* \bar z)[/mm]
da hast Du einen Fehler !
Richtig: [mm]-2z- 2\bar{z} +4= 3(z* \bar z)[/mm]
FRED
>
> und wie geht es weiter?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Fr 19.06.2009 | | Autor: | n0000b |
>
> da hast Du einen Fehler !
>
> Richtig: [mm]-2z- 2\bar{z} +4= 3(z* \bar z)[/mm]
Jep sry. Auf dem Zettel habe ich es stehen, nur vergessen zu übertragen^^
Was kann ich jetzt noch machen, damit ich es auflösen kann?
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[mm]-2z- 2\bar{z} +4= 3(z* \bar z)[/mm]
>
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> Was kann ich jetzt noch machen, damit ich es auflösen
> kann?
Da ich nun (aufgrund der Rechnung mit x und y) schon
weiß, was die Lösung ist, könnte ich dir eine Substi-
tution empfehlen, nämlich
$\ Z:=\ [mm] z+\bruch{2}{3}$ [/mm] bzw. $\ z\ =\ [mm] Z-\bruch{2}{3}$
[/mm]
Damit vereinfacht sich deine obige Gleichung schließlich
zu:
$\ |Z|\ =\ [mm] \bruch{4}{3}$
[/mm]
die offensichtlich einen Kreis darstellt, mit der alten
Variablen z notiert:
[mm] $\left|z+\bruch{2}{3}\right|\ [/mm] =\ [mm] \bruch{4}{3}$
[/mm]
Ich wüsste aber nicht, wie ich auf diese Idee einer Sub-
stitution gekommen wäre ohne die vorherige Analyse
mit den x-y-Koordinaten.
LG Al-Ch.
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> Auf welcher Kurve liegen die Punkte z mit [mm]|z-2| = 2|z|[/mm]?
Geometrisch betrachtet handelt es sich bei der
gesuchten Punktmenge um einen ![[]](/images/popup.gif) Apolloniuskreis.
(Apollonius von Perga, 3.Jh. v. Chr.)
LG Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:48 Fr 19.06.2009 | | Autor: | n0000b |
Vielen Dank für Eure Hilfe.
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Forme dies nun zu einer ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
