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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:17 Mi 02.07.2008 | | Autor: | cosPhi |
Hi!
Ich habe zu [mm] \mathcal{N}(A,\sigma^2) [/mm] einen ML Estimator für die Varianz bestimmt. Er lautet:
[mm] \hat{\sigma}^2 [/mm] = [mm] \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N [/mm] (x[n] - [mm] A)^2
[/mm]
Das Ergebnis deckt sich mit [1] in der Wikipedia.
Jetzt will ich natürlich wissen ob der Schätzer konsistent ist, also ob der [mm] E(\hat{\sigma}^2) [/mm] = [mm] \sigma^2. [/mm] (Erwartungswert des Schätzers = echter Wert).
Wikipedia sagt dazu:
[mm] E(\hat{\sigma}^2) [/mm] = [mm] \frac{n-1}{n} \sigma^2 [/mm] (siehe [1]).
Nachdem ich die dortige Herleitung nicht verstehe, mache ich meine eigene:
[mm] E(\hat{\sigma}^2) [/mm] = [mm] E\left( \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N (x[n] - A)^2 \right)
[/mm]
= [mm] \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N [/mm] E((x[n] - [mm] A)^2)
[/mm]
E((x[n] - [mm] A)^2) [/mm] ist nun das zweite zentrale Moment einer Gaussverteilung mit [mm] \mathcal{N}(A,\sigma^2) [/mm] und entspricht damit der Varianz [mm] \sigma^2.
[/mm]
Also:
= [mm] \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N \sigma^2 [/mm] = [mm] \sigma^2
[/mm]
Ich bekomme also einen erwartungstreuen Schätzer ohne Bias. Wo ist hier der Gedankenfehler und was stimmt nun?
lg und vielen Dank!,
divB
[1] http://de.wikipedia.org/wiki/Maximum-Likelihood-Methode#Stetige_Verteilung.2C_kontinuierlicher_Parameterraum
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