Wohldefiniert Multipl. auf Z < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:10 Di 22.03.2011 | | Autor: | Kueken |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Definition der Multiplikation auf Z wohldefiniert ist. Was bedeutet der Ausdruck "wohldefiniert" in diesem Kontext genau? |
Hallo,
ich stecke gerade in der Klausurvorbereitung und wir haben leider keine Musterlösung zu den Aufgaben. Daher versuche ich gerade die Lösungen, die mir fehlen selbst zusammenzubekommen. Bei der obigen Aufgabe habe ich ziemlich Schwierigkeiten. Ich hab im Internet was gefunden, wie man das mit der Addition macht, aber ich krieg es nicht auf die Multiplikation übertragen.
Grundsätzlich haben wir die ganzen Zahlen mit einer Äquivalenzrelation eingeführt. Und die Definition für die Multiplikation ist wie folgt. [mm] [(m_{1},m_{2})]*[(n_{1},n_{2})]:=[(m_{1} n_{1}+ m_{2}n_{2}, m_{1}n_{2}+ m_{2}n_{1})]
[/mm]
Mein Ansatz wäre, ich nehme 2 Repräsentanten aus einer Äquivalenzklasse [mm] (m_{1},m_{2}) [/mm] und [mm] (m_{1}',m_{2}') [/mm] aus der Äquivalenzklasse [mm] [(m_{1},m_{2})]. [/mm] So nu weiß ich aber nicht wie es weitergehen soll. Also das grundsätzliche Vorgehen ist mir nicht klar.
Viele Grüße und danke schonmal. Ich setz mal den Link dazu zu dem was ich gefunden habe. Sorry, wenn ich das jetzt nich alles komplett abtippen mag. Das ist ziemlich viel. Ich weiß auch nicht ob das wirklich weiterhilft, denn hier steht das Beispiel für die Addition.
P.S.: ich setz den Link in eine Mitteilung, sonst wird der Beitrag hier schwierig zu lesen...
LG Kerstin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:13 Di 22.03.2011 | | Autor: | Kueken |
Ach du jemine..Kann man das irgendwie schöner machen?
http://books.google.de/books?id=ptdIx1CT4ssC&pg=PA294&lpg=PA294&dq=zeigen+sie+dass+die+definition+der+multiplikation+auf+z+wohldefiniert+ist&source=bl&ots=pxvW02F0sG&sig=zhvLEGUkFM2duI8sKgeV2T6nas4&hl=de&ei=CbqITb76PIaBOsHHqYsO&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=4&ved=0CCwQ6AEwAw#v=onepage&q=zeigen%20sie%20dass%20die%20definition%20der%20multiplikation%20auf%20z%20wohldefiniert%20ist&f=false
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:27 Di 22.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Du mußt zeigen, dass die Def.
$ [mm] [(m_{1},m_{2})]\cdot{}[(n_{1},n_{2})]:=[(m_{1} n_{1}+ m_{2}n_{2}, m_{1}n_{2}+ m_{2}n_{1})] [/mm] $
unabhängig ist von der Wahl der Repräsentanten ist.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 Di 22.03.2011 | | Autor: | Kueken |
Hallo Fred,
danke für den Hinweis, aber das wusste ich schon. Das Problem bei mir ist das "Wie". Also zwei Tupel aus einer Äquivalenzklasse nehmen ist mir klar, aber was mach ich dann mit den beiden. Einfach die Multiplikationsdefinition darauf anwenden?
Ich hab die Multiplikation ja hier mit Äquivalenzklassen definiert, kann ich das einfach umschreiben?
Liebe Grüße
Kerstin
P.S.: Habs Produktzeichen von gestern hinbekommen :D
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Hallo Kerstin,
> danke für den Hinweis, aber das wusste ich schon. Das
> Problem bei mir ist das "Wie". Also zwei Tupel aus einer
> Äquivalenzklasse nehmen ist mir klar, aber was mach ich
> dann mit den beiden. Einfach die Multiplikationsdefinition
> darauf anwenden?
OK, seien [mm] (m_1,m_2) [/mm] und $(m'_1,m'_2)$ Repräsentanten von [mm] [(m_1,m_2)].
[/mm]
Es gilt daher [mm] m_1+m'_2=m'_1+m_2 \gdw m_1-m_2=m'_1-m'_2 [/mm] .
z.z: [mm] $(m_{1} n_{1}+ m_{2}n_{2}, m_{1}n_{2}+ m_{2}n_{1})\sim [/mm] (m'_{1} [mm] n_{1}+ m'_{2}n_{2}, m'_{1}n_{2}+ m'_{2}n_{1})$
[/mm]
Oder äquivalent:
[mm] \qquad $(m_{1} n_{1}+ m_{2}n_{2})- (m_{1}n_{2}+ m_{2}n_{1})=(m'_{1} n_{1}+ m'_{2}n_{2})-(m'_{1}n_{2}+ m'_{2}n_{1})$
[/mm]
Nun rechne mal mit den Voraussetzungen los.
[mm] (m_{1} n_{1}+ m_{2}n_{2})- (m_{1}n_{2}+ m_{2}n_{1})=\ldots=(m_1-m_2)(n_1-n_2)=(m'_1-m'_2)(n_1-n_2)=\ldots=(m'_{1} n_{1}+ m'_{2}n_{2})-(m'_{1}n_{2}+ m'_{2}n_{1})
[/mm]
> Ich hab die Multiplikation ja hier mit Äquivalenzklassen
> definiert, kann ich das einfach umschreiben?
>
> Liebe Grüße
> Kerstin
>
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Di 22.03.2011 | | Autor: | Kueken |
Ich glaub hier ist der hund begraben:
Es gilt daher $ [mm] m_1+m'_2=m'_1+m_2 \gdw m_1-m_2=m'_1-m'_2 [/mm] $
Wie kommt man darauf? Das war auch in dem Link bei der Addition. Aber ich weiß nicht woher das kommt...
Danke dir für deine Hilfe und Arbeit, diese Klammern sind extrem zeitraubend :)
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> Ich glaub hier ist der hund begraben:
> Es gilt daher [mm]m_1+m'_2=m'_1+m_2 \gdw m_1-m_2=m'_1-m'_2[/mm]
>
> Wie kommt man darauf? Das war auch in dem Link bei der
> Addition. Aber ich weiß nicht woher das kommt...
So sollte die Äquivalenzklasse definiert worden sein (es handelt sich um die Eigenschaft, die die Äquivalenzklasse charakterisiert). Schau am besten mal in deinen Unterlagen nach 
>
> Danke dir für deine Hilfe und Arbeit, diese Klammern sind
> extrem zeitraubend :)
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:25 Di 22.03.2011 | | Autor: | Kueken |
ah jaa, habs gefunden... ich dachte die ganze Zeit bei der Addition wurde das so gemacht, weil es eben die Addition ist und kam dann logischerweise gar nicht mehr klar. Super, dann rechne ich mal los :D
Danke Dir!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:49 Di 22.03.2011 | | Autor: | Kueken |
Ich haaaaaaaaabbbbbsssss =) =) =) *freu* und auch noch verstanden. Super, dankeschön!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 Di 22.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich glaub hier ist der hund begraben:
> Es gilt daher [mm]m_1+m'_2=m'_1+m_2 \gdw m_1-m_2=m'_1-m'_2[/mm]
>
> Wie kommt man darauf? Das war auch in dem Link bei der
> Addition. Aber ich weiß nicht woher das kommt...
Du schreibst doch oben:
"haben wir die ganzen Zahlen mit einer Äquivalenzrelation eingeführt"
Und, wie lautet diese Relation ?
FRED
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> Danke dir für deine Hilfe und Arbeit, diese Klammern sind
> extrem zeitraubend :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:27 Di 22.03.2011 | | Autor: | Kueken |
Da war mir die Äquivalenzrelation als solche wohl noch nicht ganz klar =) Gut, Lücke stopfen *g*
Lg
Kerstin
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