Wozu homogene Lösung? < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:19 Do 17.03.2016 | | Autor: | abc1235 |
Hallo ich hätte eine Verständnisfrage zu inhomogenen Differentialgleichungen.
Wieso gibt man als Gesamtlösung die Summe aus homogener und partikulärer Lösung an, wenn die partikuläre Lösung alleine bereits die Differentialgleichung löst?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:51 Do 17.03.2016 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Hallo ich hätte eine Verständnisfrage zu inhomogenen
> Differentialgleichungen.
> Wieso gibt man als Gesamtlösung die Summe aus homogener
> und partikulärer Lösung an, wenn die partikuläre Lösung
> alleine bereits die Differentialgleichung löst?
weil eine spezielle Lösung nicht der allgemeinste Fall der Lösung ist. Sie enthält keine Parameter (Integrationskonstanten). Eine allgemeine Lösung zeichnet sich eben genau dadurch aus, dass sie Parameter hat, die durch Anfangs- oder Randbedingungen festzulegen sind und man die Lösung so an den speziellen Fall anpassen kann.
Das ist so ähnlich, als würdest Du als Lösung der Gleichung [mm] $x^2=1$ [/mm] nur $x=1$ angeben, die Gleichung wird aber auch durch $x=-1$ gelöst.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß,
notinX
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Nimm als Beispiel die Diffgl. y' –y = -6.
Eine partikuläre Lösung ist: y = 6. Denn dann gilt: y' = 0 und y' – y = 0 – 6 = - 6.
Könnte es nicht noch weitere Lösungen geben? Wenn du bei einer quadratischen Gleichung eine Lösung errätst, bist du auch noch nicht fertig: Es könnte noch eine zweite geben, und das bekannte Lösungsverfahren sagt dir, ob dem so ist oder ob es keine weitere Lösung gibt.
Hier ist es genau so: y = [mm] e^x [/mm] +6 ist ebenfalls eine Lösung. Denn dann gilt: y' = [mm] e^x [/mm] und y' – y = [mm] e^x [/mm] – [mm] (e^x [/mm] – 6) = - 6.
Aber y = [mm] 3*e^x-6 [/mm] ist eine weitere Lösung, denn : y' = [mm] 3*e^x [/mm] und y' – y = [mm] 3*e^x [/mm] – [mm] (3*e^x-6) [/mm] = - 6.
usw.
Aber y = [mm] e^{2x} [/mm] – 6 ist keine Lösung.
Wie bekommt man alle Lösungen einer LINEAREN (!) Diffgl.?
Gegeben: y+ay'+by''+cy'''....=f(x)
Annahme: Die Funktionen [mm] y_1 [/mm] und [mm] y_2 [/mm] sind beides (verschiedene) Lösungen der Diffgl. Dann gilt:
[mm] y_1+ay_1'+by_1''+cy_1'''....=f(x) [/mm] und
[mm] y_2+ay_2'+by_2''+cy_2'''....=f(x).
[/mm]
Subtrahiert man beides voneinander, so gilt:
[mm] (y_1-y_2)+a(y_1'-y_2')+b(y_1''-y_2'')+c(y_1'''-y_2''')....= [/mm] 0 oder wegen der Differenzenregel beim Ableiten:
[mm] (y_1-y_2)+a(y_1-y_2)'+b(y_1-y_2)''+c(y_1-y_2)'''....= [/mm] 0
Das bedeutet: die Funktion [mm] z=y_1-y_2 [/mm] ist eine Lösung der homogenen Diffgl. z+az'+bz''+cz'''....=0.
Jetzt umgekehrt:
Gibt es zwei (verschiedene) Lösungen [mm] y_1 [/mm] und [mm] y_2, [/mm] so ist
[mm] y_1=y_2+z [/mm] mit einer Lösung z der homogenen Diffgl.
Hast du also eine partikuläre Lösung [mm] y_2, [/mm] so ergibt sich jede (andere) Lösung als Summe daraus + einer Lösung der homogenen Diffgl.
Um ALLE Lösungen zu erhalten, musst du somit zu EINER beliebigen partikulären Lösung ALLE Lösungen der homogenen Diffgl. addieren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:03 Mo 21.03.2016 | | Autor: | abc1235 |
Vielen dank
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