Ws., dass ZV kleiner als Erw. < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:46 Di 08.03.2016 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Sei der Einfachheit halber eine diskrete Zufallsvariable $X$ mit Werten in [mm] $\{1,\ldots, n\}$ [/mm] und natürlich-zahligem Erwartungswert [mm] $E(X)=\mu$ [/mm] gegeben. Intuitiv sollte ja gelten, dass [mm] $\text{P}(X\le E(X))\approx \frac{1}{2}$, [/mm] falls $n$ hinreichend groß ist. Gibt es ein (heuristisches) Argument, um das zu zeigen?
Ich habe mit ein paar Ungleichungen angefangen. Es gilt ja
[mm] $$\mu=E(X)=\sum_{i=1}^n iP(X=i)=\sum_{i=1}^{\mu} iP(X=i)+\sum_{i=\mu+1}^n [/mm] iP(X=i)$$
und daraus folgt
[mm] $$P(X\le \mu)+\mu P(X>\mu)<\mu<\mu P(X\le \mu)+nP(X>\mu)$$.
[/mm]
Weiß jemand, wie man weiterkommen kann? Ich möchte ja jetzt [mm] $\frac{P(X\le \mu)}{P(X>\mu)} \approx [/mm] 1$ oder [mm] $P(X\le \mu)-P(X>\mu)\approx [/mm] 0$ zeigen für große $n$ aber ich sehe nicht, ob das geht.
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:00 Di 08.03.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Teufel!
> Sei der Einfachheit halber eine diskrete Zufallsvariable [mm]X[/mm]
> mit Werten in [mm]\{1,\ldots, n\}[/mm] und natürlich-zahligem
> Erwartungswert [mm]E(X)=\mu[/mm] gegeben.
Sonst ist nichts über X bekannt?
> Intuitiv sollte ja gelten,
> dass [mm]\text{P}(X\le E(X))\approx \frac{1}{2}[/mm], falls [mm]n[/mm]
> hinreichend groß ist.
Nein, in diesem allgemeinen Setting keineswegs.
Beispiel:
Sei X fast sicher konstant gleich n.
Dann ist $EX=n$ und [mm]\text{P}(X\le E(X))=1[/mm].
Anderes Beispiel:
Sei (für [mm] $n\in\IN\setminus\{0,1\}$) $P(X=1)=\frac{1}{n-1}$ [/mm] und $P(X=n)=1-P(X=1)$.
Dann gilt (mit etwas Rechnung) $EX=n-1$ und daher [mm]\text{P}(X\le E(X))=\text{P}(X=1)=\frac{1}{n-1}[/mm] (also liegt [mm] $\text{P}(X\le [/mm] E(X))$ für große n nahe 0).
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:53 Mi 09.03.2016 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Vielen Dank für deinen Kommentar erstmal! :)
Nein, es ist nichts weiter bekannt. Vielleicht können wir noch annehmen, dass $X$ alle $n$ Werte mit echt positiver Wahrscheinlichkeit annimmt. Oder zumindest einen Großteil davon (was auch immer das heißt).
Aber ja, es gilt nicht, wenn $X$ die meisten Werte nicht annehmen kann, anhand einer Bernoulli-Variablen oder an deinen Beispielen sieht man ja schon, dass meine Vermutung da nicht gelten kann. Aber wenn man z.B. binomialverteilte Zufallsvariablen nimmt, oder Poisson oder hypgergeometrische und sonstige, die alle (oder viele) verschiedene Werte annehmen können, sollte es für diese Zufallsvariablen nicht gelten, dass sie ca. in der Hälfte der Fälle größer bzw. kleiner als ihr Erwartungswert sein sollten?
Also ich meine, wenn wirklich die Anzahl der Werte der diskreten, reellen Zufallsvariable $X$ "groß" ist.
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Hiho,
> Also ich meine, wenn wirklich die Anzahl der Werte der
> diskreten, reellen Zufallsvariable [mm]X[/mm] "groß" ist.
auch dann gilt das nicht.
Dafür führt man später ja extra den Median ein, weil der Erwartungswert allein absolut keine Aussage darüber trifft, wie viele Werte größer oder kleiner sind.
Um es dir aber mal konkret zu widerlegen:
Sei X eine diskrete Zufallsvariable auf [mm] $\{1,\ldots,n\}$ [/mm] und zwar mit
$P(X=1) = p, P(X=k) = [mm] \frac{(1-p)}{n-1}$ [/mm] für [mm] $k\in \{2,\ldots,n\}$.
[/mm]
d.h. wir wählen die Wahrscheinlichkeit für X=1 beliebig und verteilen die restlichen Werte gleichwahrscheinlich.
Du erkennst sofort:
$E[X] = p + [mm] \frac{(1-p)(n+2)}{2}$ [/mm]
Offensichtlich kann nun E[X] jeden beliebigen Wert im Intervall [mm] $\left(1,\frac{(n+2)}{2}\right)$ [/mm] annehmen, je nachdem, wie wir [mm] $p\in [/mm] (0,1)$ wählen. Und daher ist, obwohl X alle Werte in [mm] $\{1,\ldots,n\}$ [/mm] annimmt $P(X [mm] \le [/mm] E[X]) [mm] \in \left(\frac{1}{n}, \frac{(n+2)}{2n}\right)$ [/mm] beliebig.
Und gerade für große n nähert sich dieses Intervall [mm] $\left(0,\frac{1}{2}\right)$ [/mm] an und $P(X [mm] \le [/mm] E[X])$ ist möglicherweise sehr weit weg von [mm] $\frac{1}{2}$
[/mm]
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:56 Mi 09.03.2016 | | Autor: | Teufel |
Hallo Gono!
Vielen Dank dafür, das stimmt, da funktioniert das auch nicht. Ok, dann bleibt mir wohl nichts anderes übrig so etwas immer für konkrete Verteilungen nachzurechnen. Für Binomialverteilungen geht das in der Regel ganz gut, das springt ja aus der Approximation durch die Normalverteilung raus, falls diese zulässig ist, was für große $n$ aber ok ist.
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