Würfel Verteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:00 Mo 05.05.2008 | | Autor: | Gero |
| Aufgabe | ein fairer Würfel wird n -mal geworfen [mm] (n\in\IN [/mm] fest). Es sei [mm] \Omega:=\{1,...,6\}^n [/mm] und P uniforme Verteilung. [mm] X_n [/mm] sei kleinste dabei geworfene Zahl, somit: [mm] X_n(w):= \min_{i=1,...,n} w_i
[/mm]
a.) Bestimme Verteilung von [mm] X_n [/mm] mit [mm] P[X_n=k]=P[X_n \ge k]-P[X_n \ge [/mm] k+1]
b.) Berechne Erwartungswert [mm] E[X_n]
[/mm]
c.) Berechne [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} E[X_n] [/mm] |
Hallo an alle,
also ich hab mich jetzt mal an die Aufgabe gemacht und auch was rausbekommen, aber weiß jetzt nicht, ob das so stimmen kann.
zu a.) [mm] P[X_n=k]=(\bruch{k}{6})^n- (\bruch{k-1}{6})^n \forall k=\{1,...,6}
[/mm]
wenn man als Bsp. [mm] P[X_n=1]=(\bruch{1}{6})^n [/mm] und [mm] P[X_n=6]=1-(\bruch{5}{6})^n =1-P[X_n \not= [/mm] 6] anschaut, könnte das ja so stimmen.
zu b.) [mm] E[X_n]= -(1/6)^n-(1/3)^n-(1/2)^n-(2/3)^n-(5/6)^n+6
[/mm]
zu c.) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} E[X_n]=6
[/mm]
Kann das so sein? oder kann mir da jemand weiterhelfen?
Danke schonmal im voraus!
Grüßle
Gero
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:37 Di 06.05.2008 | | Autor: | wauwau |
Also es kann ja nicht sein, dass der Erwartungswert die größte mögliche Zahl k=6 ist!!!
Richtig wäre die Wahrscheinlichkeit
[mm]P[X_{n}=k]= \bruch{(7-k)}{6}^{n}-\bruch{(6-k)}{6}^{n}[/mm]
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