Würfel Wsk < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:35 So 14.12.2008 | | Autor: | mrs.x |
| Aufgabe | Ein fairer Würfel werde 180 mal gewürfelt.Die Zufallsvariable X bezeichne die Anzahl der gewürfelten Sechsen.Bestimmen Sie die Wahrscheinnlichkeit [mm] P(22\le [/mm] X [mm] \le [/mm] 38)
a)exakt durch Verwendung der B(180,p)-Tablle,die beiliegt,
b)näherungsweise durch Anwendung des zentralen Grenzwertsatzes ohne Stetigkeitskorrektur,
c)näherungsweise durch Anwendung des zentralen Grenzwertsatzes mit Stetigkeitskorrektur,
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HALLO,
Also mit dieser Aufagbe habe ich so meine Probleme.Zu der a) kann man die einzelnen Wsk zwischen 22 und 38 aus der Tabelle ablesen aber wie bestimmt man dann die Durchschnittswsk?Ich habe die 17 einzelnen Wsk addiert und diese dann durch die Anzahl geteilt.
in etwa so:
P(22)=0,95993
P(23)=0,93732
P(24)=......
....
P(38)=0,06997
diese habe ich wie gesgat,addiert(P(22)+P(23)+...=...)/17.Kann das so stimmen???
zur b) E(X)=30,Standardabweichung=5, ohne Stetigkeitskorrektur:
(22-30)/5=-1.6;(38-30)/5=1.6
--->P(22 [mm] \le [/mm] X* [mm] \le [/mm] 38)=P(-1.6 [mm] \le [/mm] X* [mm] \le [/mm] 0)+P(0 [mm] \le [/mm] X* [mm] \le [/mm] 1.6)
=0,4452 +0,4452=0,8904
zur c) mit Stetigk.:P(21,5 [mm] \le [/mm] X* [mm] \le [/mm] 38,5)=...,das stand in einem Buch,dass man das so mit der Stetigkeitsk. macht aber ich verstehe nicht ganz wieso.Ich wär froh wenn mir da jemand hilft!
LG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Di 16.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Ein fairer Würfel werde 180 mal gewürfelt.Die
> Zufallsvariable X bezeichne die Anzahl der gewürfelten
> Sechsen.Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit [mm]P(22\le X \le 38)[/mm]
> a) exakt durch Verwendung der B(180,p)-Tablle, die beiliegt,
> b) näherungsweise durch Anwendung des zentralen
> Grenzwertsatzes ohne Stetigkeitskorrektur,
> c) näherungsweise durch Anwendung des zentralen
> Grenzwertsatzes mit Stetigkeitskorrektur,
>
> HALLO,
>
> Also mit dieser Aufgabe habe ich so meine Probleme.Zu der
> a) kann man die einzelnen Wsk zwischen 22 und 38 aus der
> Tabelle ablesen aber wie bestimmt man dann die
> Durchschnittswsk?Ich habe die 17 einzelnen Wsk addiert und
> diese dann durch die Anzahl geteilt.
> in etwa so:
> P(22)=0,95993
> P(23)=0,93732
> P(24)=......
> ....
> P(38)=0,06997
> diese habe ich wie gesagt,addiert
> (P(22)+P(23)+...=...)/17.
> Kann das so stimmen???
Nein. Einen Durchschnittswert zu berechnen macht hier
keinen Sinn !
Ich verstehe nicht recht, welche Werte in der Tabelle
tatsächlich stehen. Jedenfalls kann es nicht sein, dass
P(X=22)=0.95993 !
Möglicherweise ist [mm] 0.95993=P(X\ge [/mm] 22) und
[mm] 0.06997=P(X\ge [/mm] 38). Leider habe ich gerade keinen
Rechner dabei, um dies zu kontrollieren.
Falls ich richtig geraten habe, wäre dann
[mm] P(22\le X\le 38)=P(X\ge 22)-P(X\ge [/mm] 39)=0.95993- .......
wobei du an der Stelle mit den Pünktchen den
Tabellenwert für X=39 nehmen müsstest.
> zur b) E(X)=30, Standardabweichung=5, ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> ohne Stetigkeitskorrektur:
> (22-30)/5=-1.6;(38-30)/5=1.6
> ---> [mm]P(22 \leX* \le38)=P(-1.6 \le X* \le0)+P(0 \le X*\le 1.6)[/mm]
> $\ =0,4452 +0,4452=0,8904$
> zur c) mit Stetigk.:
> P(21,5 [mm]\le[/mm] X* [mm]\le[/mm] 38,5)=... , das stand
> in einem Buch,dass man das so mit der Stetigkeitsk. macht
> aber ich verstehe nicht ganz wieso.Ich wär froh wenn mir da
> jemand hilft!
Wenn man die Binomialverteilung durch die Normal-
verteilung ersetzt (als Näherung), so ersetzt man
graphisch gesehen ein Säulendiagramm durch eine
Kurve. Der Flächeninhalt der Säule an der Stelle X=22,
welche eine Breite von [mm] \Delta{x}=1 [/mm] und eine Höhe h=P(X=22) hat,
wird ersetzt durch das Integral der Dichtefunktion f(x)
über ein Intervall der Breite [mm] \Delta{x}=1 [/mm] , welches seinen
Mittelpunkt an der Stelle X=22 hat:
$\ [mm] P(X=22)\approx\integral_{21.5}^{22.5}f(x)\ [/mm] dx$
Anstelle der Addition der 17 Säulenflächen von X=22 bis
und mit X=38 tritt die Integration mit den Integrations-
grenzen a=21.5 und b=38.5:
$\ [mm] P(22\le X\le 38)\approx\integral_{21.5}^{38.5}f(x)\ [/mm] dx$
Beachte, dass b-a=38.5-21.5=17 = Anzahl der Säulen.
Integriert man stattdessen nur von 21 bis 38, so macht
man einen systematischen Fehler, indem man quasi links
und rechts aussen einen Teil der Säulenfläche ersatzlos
opfert. Auch mit der "Stetigkeitskorrektur" macht man
allerdings immer noch einen (kleineren) Fehler - und ein
vollwertiger Ersatz für die exakte Berechnung nach
Binomialverteilung kann die Normalverteilung ja auch
nicht sein. Sie ist aber ein ausgezeichnetes Mittel, um
mit vertretbarem Rechenaufwand zu doch ganz guten
Näherungswerten zu kommen, jedenfalls, wenn die
Faustregel n*p*q>9 erfüllt ist.
LG Al-Chw.
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