Würfel um Tetraeder zeichnen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben sind die Punkte A(1/4/1), B(-2/1/1), C(1/1/-2) und D(2/0/2).
a.) Zeichne die Punkte in ein 3-dimensionales Koordinatensystem und verbinde die Punkte zu einem Tetraeder.
b.) Handelt es sich hierbei um ein rgelmäßiges Tretraeder?
c.) Falls ja, bestimme die Eckpunkte des umschließenden Würfels und zeichne diesen ebenfalls in das Koordinatensystem ein. |
Hallo allerseits,
ich benötige leider dringend eure Hilfe.
Aufgabenteil a.) war natürlich kein Problem, auch b.) war einfach (Kantenlänge des Tetraeders ist [mm] \wurzel{18}), [/mm] jedoch Aufgabenteil c.) kann ich irgendwie nicht lösen.
Habe rausgefunden, dass die Kanten des Tetraeders die Flächendiagonalen des Würfels sind und wir somit ja schon 4 Eckpunkte des Würfels haben. Habe zudem die gesuchte Kantenlänge des Würfels (a=3) über den Pythagoras berechnet.
Mein wohl größtes Problem daran ist, dass der Tetraeder schief im Raum liegt und ich daher ein meine Vorstellungsgrenzen komme, was die Lage des Würfels angeht.
Habe es über das Skalaerprodukt probiert, habe versucht, die anderen Eckpunkte des Würfels über schneidene Geraden zu berrechnen, irgendetwas mache ich wohl falsch. Habe zudem den Schwerpunkt des Tetraeders berechnet (M(0,5/1,5/0,5)), der aber wohl nicht der Mittelpunkt des Würfels ist, oder?
Das muss doch irgendwie möglich sein. Ich bitte um Hilfe. Habe bereits im Internet nach Lösungen gesucht, jedoch wird dort einem nur erklärt, wie man aus einem Würfel ein Tetraeder zeichnet und nicht umgekehrt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke für eure Hilfe.
LG Tim
|
|
| |
|
Hallo,
du benötigst eigentlich keine Rechnung per Skalarprodukt mehr. Wenn du dir deine Zeichnung genau ansiehst, dann wirst du sehen, dass AB und CD gegenüberliegende Tetraederkanten sind, und damit sind sie insbesondere schon orthogonal (wenn man davon ausgeht, dass der Beweis der Regelmäßigkeit bereits erbracht ist).
Berechne also etwa den Mittelpunkt von AB und von dort kommst du mit den Vektoren
[mm] \pm\bruch{1}{2}*\overrightarrow{CD}
[/mm]
zu zwei weiteren Eckpunkten des Würfels. Die restlichen zwei dann in der umgekehrten Reihenfolge: Mitte von CD, usw... 
EDIT:
Deine Frage bezüglich des Schwerpunktes habe ich vorhin übersehen: doch, die haben einen gemeinsamen Schwerpunkt. Insofern könntest du natürlich die fehlenden Ecken auch mit dessen Hilfe bestimmen, aber ich sehe im Moment nicht, inwiefern dies eine Verienfachung im Vergleich zu der von mir vorgeschlagenen Vorgehensweise sein könnte.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Danke für die superschnelle Antwort,
hat super funktioniert. Da hätte ich aber auch selbst drauf kommen müssen :-(.
Der Schwerpunkt des Tetraeders liegt meines Erachtens zu tief, um Mittelpunkt des Würfels sein zu können, bin mir aber nicht sicher.
Und einfacher ist die Eckpunktberechnung von da aus sicherlich nicht.
Nochmal tausend Dank.
LG Tim
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:02 Fr 23.03.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo Tim,
> Der Schwerpunkt des Tetraeders liegt meines Erachtens zu
> tief, um Mittelpunkt des Würfels sein zu können, bin mir
> aber nicht sicher.
Nein, die Schwerpunkte sind identisch. Das macht man sich folgendermaßen klar: der Würfel entsteht aus dem Tetraeder durch 'Ankleben' von vier dreiseitigen Pyramiden, deren Seitenkanten die Würfelkanten sind, und die deshalb in den Spitzen paarweise rechtwinklig sind. Insbesondere sind diese vier Pyramiden gleich.
Da die Berbindungsstrecken vom Tetraederschwerpunkt zu den Spitzen der vier Pyramiden wiederum paarweise die gleichen Winkel einschließen müssen, muss aus Symmetriegründen der Schwerpunkt erhalten bleiben: und damit hat eben der Würfel den gleichen Schwerpunkt wie das Tetraeder.
Gruß, Diophant
|
|
|
|
