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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:03 Di 11.11.2014 | | Autor: | Lucas95 |
| Aufgabe | Einem Würfel mit 6 cm Kantenlänge wird eine gerade vierseitige Pyramide so einbeschrieben, dass die Grundfläche des Würfels auch die Grundfläche der Pyramide ist und die Spitze S der Pyramide im Mittelpunkt der Deckfläche des Würfels liegt. Nur die Koordinaten der folgenden 4 Punkte seinen bekannt: A(0; 0; 0), B(6; 0; 0), D(0; 6; 0) und G (6;6;6)
1) Bestimmen Sie zunächst die Koordinaten der 4 fehlenden Eckpunkte und der Pyramidenspitze S und ermitteln Sie danach den Schnittwinkel der beiden Raumdiagonalen AG und EC! Wie verändert sich der Wert des Winkels, wenn man die Kantenlänge des Würfels verkleinert oder vergrößert? Begründe Sie Ihre Antwort rechnerisch oder verbal!
2) Berechnen Sie auf möglichst effektive Weise sowohl den Oberflächeninhalt (Ao) der Pyramide (inklusive Grundfläche Ag) als auch das Pyramidenvolumen (Vp)! |
Hey Leute, ich habe zwar ein paar Ideen, bin aber am Verzweifeln, ob das alles so geht und richtig ist... ): Vielleicht könnt ihr mir ja schnell helfen. Das wäre echt super lieb!
1) C(6;6;0) F(6; 0; 6) E(0; 0; 6) und H(0;6;6)und S(3;3;6).
Dann habe ich für Raumdiagonale AG folgende Gleichung aufgestellt:
g(x)=[0, 0, 0] +s*[6, 6, 6] und für EC
f(x)= [0, 0, 6] + t*[6, 6, -6].
Um den Schnittwinkel zu bestimmen, habe ich den Betrag des Skalarproduktes von Richtungsvektor g(x) mit Richtungsvektor f(x) durch die norm von g(x) * norm von f(x) geteilt. Davon den arccos und da habe ich als Schnittwinkel ca. 70, 5288 Grad heraus.
Also ich habe herausgefunden, dass sich der Winkel nicht ändert, egal ob die Kantenlängen größer oder kleiner werden. Ich habe praktisch die Richtungsvektoren mal kleiner und mal größer gemacht, und da kommt immer derselbe Wert für den Schnittwinkel heraus, aber wie kann ich das verbal bzw. rechnerisch begründen? Eventuell, weil sich das Verhältnis der Geraden/Kanten nicht ändert?
2) Ao Pyramide: waäre ja Ag + A1 + A2 + A3 + A4 oder?
also Ag wäre 6*6 also 36.
Die Dreiecke sind jeweils gleichgroß, das die Kantenlänge immer 6cm beträgt. Nimmt man jetzt beispielsweise das Dreick BCS so wäre der Flächeninhalt ja 1/2 *g * hg. Da ein gleichschenkliges Dreieck vorliegt, müsste g die Strecke BC sein, also 6 cm und der Mittelpunkt der Strecke wäre dann bei M(6;3;0). Jetzt kann man den Abstand zwischen M und S berechnen, also norm von M und S, da kommt bei mir 3*Wurzel aus 5 heraus, also ca 6,7082.
Jetzt wäre der Flächeninhalt eines Dreiecks bei A=9*Wurzel aus 5 also bei ca. 20,1246 Quadratcm. Das brauchen wir 4 mal plus die Ag
Der Oberflächeninhalt der Pyramide wäre also 36* Wurzel aus 5 +36 also ca. 116, 498 Quadratcm. Stimmt das???
Nun noch das Pyramidenvolumen: = 1/3*Ag*h
also 1/3*36cm*6=72 Kubicm.
Stimmt das in etwa?
Ich freue mich und bin sehr dankbar für Antworten!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:58 Di 11.11.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo Lucas!
> Einem Würfel mit 6 cm Kantenlänge wird eine gerade
> vierseitige Pyramide so einbeschrieben, dass die
> Grundfläche des Würfels auch die Grundfläche der
> Pyramide ist und die Spitze S der Pyramide im Mittelpunkt
> der Deckfläche des Würfels liegt. Nur die Koordinaten der
> folgenden 4 Punkte seinen bekannt: A(0; 0; 0), B(6; 0; 0),
> D(0; 6; 0) und G (6;6;6)
>
> 1) Bestimmen Sie zunächst die Koordinaten der 4 fehlenden
> Eckpunkte und der Pyramidenspitze S und ermitteln Sie
> danach den Schnittwinkel der beiden Raumdiagonalen AG und
> EC! Wie verändert sich der Wert des Winkels, wenn man die
> Kantenlänge des Würfels verkleinert oder vergrößert?
> Begründe Sie Ihre Antwort rechnerisch oder verbal!
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> 2) Berechnen Sie auf möglichst effektive Weise sowohl den
> Oberflächeninhalt (Ao) der Pyramide (inklusive
> Grundfläche Ag) als auch das Pyramidenvolumen (Vp)!
> Hey Leute, ich habe zwar ein paar Ideen, bin aber am
> Verzweifeln, ob das alles so geht und richtig ist... ):
> Vielleicht könnt ihr mir ja schnell helfen. Das wäre echt
> super lieb!
>
> 1) C(6;6;0) F(6; 0; 6) E(0; 0; 6) und H(0;6;6)und S(3;3;6).
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dann habe ich für Raumdiagonale AG folgende Gleichung
> aufgestellt:
> g(x)=[0, 0, 0] +s*[6, 6, 6] und für EC
> f(x)= [0, 0, 6] + t*[6, 6, -6].
> Um den Schnittwinkel zu bestimmen, habe ich den Betrag des
> Skalarproduktes von Richtungsvektor g(x) mit
> Richtungsvektor f(x) durch die norm von g(x) * norm von
> f(x) geteilt. Davon den arccos und da habe ich als
> Schnittwinkel ca. 70, 5288 Grad heraus.
> Also ich habe herausgefunden, dass sich der Winkel nicht
> ändert, egal ob die Kantenlängen größer oder kleiner
> werden. Ich habe praktisch die Richtungsvektoren mal
> kleiner und mal größer gemacht, und da kommt immer
> derselbe Wert für den Schnittwinkel heraus, aber wie kann
> ich das verbal bzw. rechnerisch begründen? Eventuell, weil
> sich das Verhältnis der Geraden/Kanten nicht ändert?
Wenn sich zwei Strecken schneiden, ändert sich der Schnittwinkel nicht, wenn du sie vom Schnittpunkt aus verlängerst oder verkürzt.
Rechnerisch könntest du so vorgehen:
Nimm an, die Kantenlänge ist nicht 6, sonder a. So wird beispielsweise aus C der Punkt (a,a,0). Rechne so nochmal genauso den Schnittwinkel aus. Hängt das Ergebnis von a ab?
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> 2) Ao Pyramide: waäre ja Ag + A1 + A2 + A3 + A4 oder?
> also Ag wäre 6*6 also 36.
> Die Dreiecke sind jeweils gleichgroß, das die
> Kantenlänge immer 6cm beträgt.
Ich weiß, was du meinst, aber du hast es unglücklich formuliert. Welche Kante meinst du?
> Nimmt man jetzt
> beispielsweise das Dreick BCS so wäre der Flächeninhalt
> ja 1/2 *g * hg. Da ein gleichschenkliges Dreieck vorliegt,
> müsste g die Strecke BC sein, also 6 cm und der
> Mittelpunkt der Strecke wäre dann bei M(6;3;0). Jetzt kann
> man den Abstand zwischen M und S berechnen, also norm von M
> und S, da kommt bei mir 3*Wurzel aus 5 heraus, also ca
> 6,7082.
Lass aber lieber die Wurzel stehen.
> Jetzt wäre der Flächeninhalt eines Dreiecks bei
> A=9*Wurzel aus 5 also bei ca. 20,1246 Quadratcm. Das
> brauchen wir 4 mal plus die Ag
> Der Oberflächeninhalt der Pyramide wäre also 36* Wurzel
> aus 5 +36 also ca. 116, 498 Quadratcm. Stimmt das???
Schöner wäre hier ein "Komplettansatz": [mm]A_O=6*6+4*\frac 12 *6*3\sqrt 5=36+36\sqrt 5=36(1+\sqrt 5)\approx 116.5\ (cm)[/mm]
> Nun noch das Pyramidenvolumen: = 1/3*Ag*h
> also 1/3*36cm*6=72 Kubicm.
> Stimmt das in etwa?
Nicht nur in etwa, sondern ganz genau 
Lieben Gruß,
Fulla
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