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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:58 Do 20.01.2011 | | Autor: | Giraffe |
| Aufgabe | Löse die Wurzelgleichungen rechnerisch
a) [mm] \wurzel{x-3}= [/mm] 5
b) [mm] \wurzel{x-3}=-5 [/mm]
Dazu musst du quadrieren.
Frage 1:
Warum ist das ein sinnvolles Verfahren?
Frage 2:
Rechne zuende u. überprüfe die Lösg. durch Einsetzen.
Frage 3:
Löse auch grafisch u. beschreibe die Besonderheit |
zu Frage 1:
Warum ist das ein sinnvolles Verfahren?
Weil man nur mit Quadrieren das x isolieren kann. Man will wissen, was x ist u. dazu muss es allein auf einer Seite stehen, bzw. erstmal aus der Wurzel rausgeholt werden. Und das geht nur mit Quadrieren.
Ist das die richtige Antw.?
Frage 2:
Rechne zuende u. überprüfe die Lösg. durch Einsetzen.
Ich habe x=28 raus. Und eingesetzt ergibt das 25=25
Das sagt mir nun, dass das vorher ermittelte Ergebnis x=28 richtig ist.
Ja, ist das so zu interpretieren?
Frage 3:
Löse auch grafisch u. beschreibe die Besonderheit
b) [mm] \wurzel{x-3}=-5 [/mm] macht folgenes Problem:
Um gleich eine gut geeignete Wertetabelle aufzustellen (mit welchen x-Werten fange ich an) mach ich erst den Def.bereich.
[mm] D=\{x|x\ge 3\}
[/mm]
Mist ich meine
x[mm] \ge [/mm]3
d.h. die x-Werte dürfen 3,4,5 usw. u. alle Werte dazwischen sein.
Problem:
Nehmen wir die erste Zahl: x darf 3 sein, dann
0=-5
Aber das ist falsch
Wie ist das denn nun zu interpretieren?
Oder muss ich, um den Def.bereich zu bestimmen die komplette Gleichung nehmen? Dann hätte die Def.menge nur ein Element, nämlich zuvor ausgerechnete x=28
Aber was ist das denn für ein Graph, wenn nur einem einzigen x-Wert ein y zugeordnet werden kann. Ist eine einzige Koordinate überhaupt eine Fkt.?
Hier läuft irgendwas Grundsätzl. schief.
Was ist der Unterschied zwischen Wurzel-Gleichg. u. Wurzel-Fkt.?
Fkt. f(x)=......
hier 5=..... oder
hier -5=......
Ich hoffe ganz ganz doll, dass es sich flott u. einfach klären kann u. nicht schwierig wird u. dass da draußen irgendwo jemand ist u. wenn er nur eine einzige Frage beantw., sodass ich schon mal nur etwas weiterkomme
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Na dann wollen wir mal, jetzt weiß ich, was du in deiner pm meintest und nein: Es ist ganz einfach, auch für dich! Da es aber recht viel ist, wird es dauern.
Ich sehe gerade, dass du bei a und b dieselbe Gleichung angegeben hast, aber das ist bestimmt nicht so, oder???
Daher kann ich momentan nur mit [mm] $\wurzel{x-3}= [/mm] 5 $ arbeiten.
> Löse die Wurzelgleichungen rechnerisch
> a) [mm] \wurzel{x-3}= [/mm] 5
> b) [mm] \wurzel{x-3}=-5 [/mm]
> Dazu musst du quadrieren.
>
> Frage 1:
> Warum ist das ein sinnvolles Verfahren?
>
> Frage 2:
> Rechne zuende u. überprüfe die Lösg. durch Einsetzen.
>
> Frage 3:
> Löse auch grafisch u. beschreibe die Besonderheit
> zu Frage 1:
> Warum ist das ein sinnvolles Verfahren?
> Weil man nur mit Quadrieren das x isolieren kann. Man
> will wissen, was x ist u. dazu muss es allein auf einer
> Seite stehen, bzw. erstmal aus der Wurzel rausgeholt
> werden. Und das geht nur mit Quadrieren.
> Ist das die richtige Antw.?
Das ist richtig, ich möchte aber auf ein Problem des Quadrierens hinweisen. Das Grundproblem: Quadrieren ist keine sog. äquivalente Umformung. Du erzeugst damit unter Umständen mehr Lösungen, als vorher da waren!
Beispiel: [mm] \wurzel{25}=5
[/mm]
Quadrieren wir, so erhalten wir: 25=25, keinerlei Probleme und richtig.
Ziehen wir wieder die Wurzel: 5=5
Das Problem entsteht erst, wenn wir Gleichungen auf diese Weise lösen wollen, bzw solche Umformen.
Die GLeichung x=5 hat nur eine Lösung, nämlich 5.
Quadrieren wir, erhalten wir: [mm] x^2=25.
[/mm]
Ziehen wir jetzt die Wurzel, erhalten wir:
[mm] x_{1/2}=\pm [/mm] 5, denn sowohl -5 als auch 5 sind Lösungen der Gleichung. Wir sind aber von x=5 ausgegangen, daher kann nur eine Lösung richtig sein. Die andere hat sich "reingemogelt", eben weil wir eine Umformung gewählt haben, die eine zusätzliche Lösung erzeugt hat. Eine Lösung der Ausgangsgleichung ist immer auch in der Quadratischen Form enthalten! Eine Lösung, die aber durch Quadrieren entsteht, muss nicht auch Lösung der AUsgangsgleichung sein. Daher immer die Probe machen!
(danke an angelika)
Woher kommt die zusätzliche Lösung? Nun, durch das Quadrieren, und auch das Wurzelziehen, haben wir eine Lösung hineingeschummelt, die vorher nicht vorgesehen war. Also könnte das auch bei der Wurzelgleichung passieren. Hier ist die Gefahr jedoch nicht gegeben, weil wir von vornherein einen eingeschränkten Definitionsbereich haben und vor allem, weil x=28 eine eindeutige Lösung ist! Sollte also eine Lösung zum Beispiel x<3 lauten, wäre sie gar nicht zugelassen. Generell gilt bei Quadrieren und Wurzelziehen: Immer die Lösungen am Ende mit der Probe kontrollieren
>
> Frage 2:
> Rechne zuende u. überprüfe die Lösg. durch Einsetzen.
> Ich habe x=28 raus. Und eingesetzt ergibt das 25=25
> Das sagt mir nun, dass das vorher ermittelte Ergebnis x=28
> richtig ist.
> Ja, ist das so zu interpretieren?
Jop so ist es. DU hast nur eine Lösung und die Probe zeigt, dass diese auch tatsächlich stimmt
(sorry, was hier vorher stand ist def. (zumindest laut Wiki-Def, ich bin mir da nicht sicher :p) falsch)
>
> Frage 3:
> Löse auch grafisch u. beschreibe die Besonderheit
> b) [mm] \wurzel{x-3}=-5 [/mm] macht folgenes Problem:
> Um gleich eine gut geeignete Wertetabelle aufzustellen
> (mit welchen x-Werten fange ich an) mach ich erst den
> Def.bereich.
> D={x [mm] \in \IR [/mm] | x [mm] \ge [/mm] 3 }
> Problem:
> Nehmen wir die erste Zahl: x darf 3 sein, dann
> 0=-5
> Aber das ist falsch
> Wie ist das denn nun zu interpretieren?
Achtung, du hast ihr einen ganz großen Hänger!!
Der Definitionsbereich hat aber auch nix mit deiner konkreten Gleichung zu tun! Der Definitionsbereich gibt die Menge aller x-Werte einer Funktion f an, die eingesetzt werden dürfen, bzw für die die Funktionsvorschrift definiert ist. Da es (vorerst) keine negativen Wurzeln gibt, dürfen unter der Wurzel nur Zahlen größer oder gleich 0 stehen. Daher ist der Definitionsbereich, wie du richtig sagst, x [mm] \ge [/mm] 3. Das heißt, du darfst alle reellen Zahlen ab 3 einsetzten.
JETZT willst du aber wissen, für welches x zusätzlich gilt: [mm] \wurzel{x-3}=5. [/mm] Das hat mit dem Def-bereich gar nix zu tun, außer dass die Lösung im selbigen liegen muss ,ok?
Also wie löst man sowas graphisch? Nun, du kannst die linke Seite als Funktion auffassen und für sich zeichen und die rechte auch! Die linke ist ja ganz klar eine Wurzelfunktion, um +3 nach links verschoben. (im Vergleich zur Normalen Wurzelfunktion [mm] \wurzel{x}). [/mm] Die rechte Seite f(x)=5 ist einfach eine Gerade, parallel zur x-Achse.
zeichne also die linke und die rechte Seite der Gleichung in ein Koordinatensystem und du müsstest den Schnittpunkt "ablesen" können, die Lösung kennst du ja schon, nämlich 28.
Alternativ kannst du auch die quadrierte Form zeichen, also x-3 und 25. Führt dich ebenfalls zum richtigen Ergebnis.
> Oder muss ich, um den Def.bereich zu bestimmen die
> komplette Gleichung nehmen? Dann hätte die Def.menge nur
> ein Element, nämlich zuvor ausgerechnete x=28
> Aber was ist das denn für ein Graph, wenn nur einem
> einzigen x-Wert ein y zugeordnet werden kann. Ist eine
> einzige Koordinate überhaupt eine Fkt.?
>
> Hier läuft irgendwas Grundsätzl. schief.
> Was ist der Unterschied zwischen Wurzel-Gleichg. u.
> Wurzel-Fkt.?
> Fkt. f(x)=......
> hier 5=..... oder
> hier -5=......
Ja da liegt der Hase im Pfeffer begraben..oder wie das heißt ;)
Eine Gleichung ist grundsätzlich alles dergestalt, was zwei Ausdrücke miteinander verbindet: x=5 ist eine Gleichung, aber auch 3=2 oder 5>2 (bzw. eine Ungleichung). Eine Funktion hingegen ist eine Zuordnung, die einer Menge von x Elementen eine zweite Menge von y-Elementen zuordnet.
Die Funktion f(x)=x beschreibt eine Gerade. Sie besagt, nimm ein erlaubtes Element aus der menge x und mache damit das, was die Vorschrift sagt, um y zu erhalten. Da die Vorschrift nur sagt, lass x wie es ist, ist x=y in diesem einfachen Fall. Sprich: Wenn wir die Zahl 1 als [mm] x_1 [/mm] nehmen, erhalten wir dafür die Zahl 1 auch für [mm] y_1. [/mm] Damit haben wir [mm] x_1 [/mm] eindeutig [mm] y_1 [/mm] zugeordnet. Wäre die Funktionsvorschrift f(x)=2x, so müssten wir unsere Ausgangszahl jeweils verdoppeln, um unser y zu erhalten. verstanden?
Eine Gleichung macht GAR nichts außer zu sein ;) Wenn dort steht x=5 dann ist x=5. Man kann für x keine Zahlen einsetzten oder dergleichen, die Gleichung ist einfach ein Ausdruck für eine Zuordnung. Man kann Gleichungen aber verändern und beliebig, wenn äquivalent, umformen. Das geht wiederum mit Funktionen nicht, denn f(x)=x bleibt immer f(x)=x und wird nicht mal eben zu 2f(x)=2x
>
> Ich hoffe ganz ganz doll, dass es sich flott u. einfach
> klären kann u. nicht schwierig wird u. dass da draußen
> irgendwo jemand ist u. wenn er nur eine einzige Frage
> beantw., sodass ich schon mal nur etwas weiterkomme
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:15 Fr 21.01.2011 | | Autor: | Giraffe |
Holla holla,
da ist ja ne menge los.
Ich versuche nun die Aufgaben nocheinmal zu bearbeiten u. zwar unter Berücksichtigung von all dem, was du dazu geschrieben hast. Und dann werden wir sehen, was angekommen ist oder wo nochmal nachgeholfen werden muss.
Die Gleichung $ [mm] \wurzel{x-3}= [/mm] $5
muss quadriert werden, damit man an das x ran kommt.
Das Quadrieren soll 2 Ergebnisse bringen, nämlich
a) $ [mm] \wurzel{x-3} [/mm] * $ [mm] \wurzel{x-3} [/mm] =5 und
b) -$ [mm] \wurzel{x-3} [/mm] * -$ [mm] \wurzel{x-3} [/mm] =5
ergibt
a) x=28 und
b) x=-22
Die Probe ist unerlässlich! Hier ergibt die Probe mit x= - 22 , dass diese Lösung ausscheidet, weil man aus neg. Radikanden keine Wurzeln ziehen kann.
Um mir die Hälfte der Kontrollen (Probe) zu ersparen würde ich sagen, mache ich zuerst immer gleich den Def.bereich oder?
Der ist [mm] D=\{x \in \IR |x \ge 3\}
[/mm]
Daran kann ich nun sehen, dass x=-22 von vornherein gleich ausscheidet.
So, u. dann war da doch noch eine zweite Gleichung
$ [mm] \wurzel{x-3}=-5 [/mm] $
Da -5*-5 ebenfalls auch 25 ergibt geht hier alles genauso, wie bei der ersten Gleichung.
Nun ist noch die Probe mit x=28 zu machen.
Und hier taucht eine Unsicherheit auf.
[mm] \wurzel{28-3}=5
[/mm]
[mm] \wurzel{25}=5
[/mm]
Gebe ich es in den TR ein, dann liefert der nur ein Ergebnis u. zwar
5. Und in der Tat 5 ist gleich 5.
-5 ist aber nicht gleich 5. Also schiede das dann doch auch schon mal aus.
Die -5 habe ich jetzt einfach so dazugedichtet (ohne Hand u. Fuß).
Wie kriege ich das mathematisch hin? Muss ich einfach vor die Wurzel immer ein + u. ein - schreiben, wie es auch bei der pq-Formel so ist?
Aber dann müsste es doch auch schon bei der Ausgangsgleichung stehen:
[mm] \pm \wurzel{x-3}=5 [/mm]
Oder schreibt man es einfach nicht mit, so wie bei [mm] x=x^1 [/mm] (1 schreibt man ja auch nicht mit)?
Oder wie kriege ich nun meine 2 Ergebnisse?
Die zweite Gleichung $ [mm] \wurzel{x-3}=-5 [/mm] $
macht ein anderes Problem
2 Ergebnisse
x=28 und x=-22
Wie gesagt, Def.bereich bleibt derselbe, d.h. x=-22 scheidet aus.
Mit x=28 die Probe ergibt
$ [mm] \wurzel{25}=-5 [/mm] $
5=-5 ist falsch, das ist nicht dasselbe.
Kann sein, dass du hier nix zu sagen musst, weil es das gleiche Problem von eben ist. Wenn ich die Wurzel ziehe, woher kommen die 2 Ergebnisse?
Ist es denn richtig, so aufzuschlüsseln, wie ich es oben tat?
+Wurzel mal +Wurzel =... und
-Wurzel mal -Wurzel=...
?
Was ist die Besonderheit bei der graf. Lösg.?
Das man beide Seiten der Gleichung für sich als Graph auffasst u. guckt, wo die sich schneiden, da sind sie gleich? Ich finde es sehr interessant , aber ist das DIE Besonderheit?
Äuqivalente Gleichungen haben gleiche Lösungen. Quadrieren ist keine Äuqivalenzumformung (deswegen ist die Probe zwingend erforderlich!).
Erkläre das anhand einer der Gleichungen!
$ [mm] \wurzel{x-3}= [/mm] $5
Dies ist EINE Gleichung, wenn ich die nun quadriere, dann erhalte ich 2 Gleichungen, weil
a*a=a aber auch -a*-a=a ist.
D.h. 2 verschiedene Werte (a und -a) machen das gleiche Ergebnis.
Bezogen auf die Gleichung $ [mm] \wurzel{x-3}= [/mm] $5 l [mm] ()^2
[/mm]
ergibt das
a) +(x-3)=25 und
b) -(x-3)=25
Von der Ausgangsgangsgleichung zu diesen 2 Gleichungen ist es KEINE Äuqivalenzumformung, weil ich nicht zurück komme.
Bei beiden die Klammer aufzulösen ist eine Äuqivalenzumformung. Aber von x-3=25 zu
x=28 ist keine Äuqivalenzumformung
(weil zurück es auch z.B. sein könnte x-5=23)
Boa, war das mal wieder viel.
LG
Sabine
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Hallo,
Du möchtest die Gleichung [mm] \wurzel{x-3}=5 [/mm] lösen.
Du stellst unten richtig fest, daß nur Lösungen x infrage kommen mit [mm] x\le [/mm] 3.
> Die Gleichung [mm]\wurzel{x-3}= [/mm]5
> muss quadriert werden, damit
> man an das x ran kommt.
Ja.
> Das Quadrieren soll 2 Ergebnisse bringen,
Um Himmelswillen! Nein!
Wenn man quadriert, bekommt man
[mm] $\wurzel{x-3}= [/mm] $5
==>
[mm] $(\wurzel{x-3)^2}= $5^2
[/mm]
==>
x-3=25
==> x=28.
Es ist richtig, daß Du nun dieses Ergebnis als Probe in die obere Gleichung einsetzen mußt um zu sehen, ob es wirklich eine Lösung ist.
> So, u. dann war da doch noch eine zweite Gleichung
> [mm]\wurzel{x-3}=-5[/mm]
> Da -5*-5 ebenfalls auch 25 ergibt geht hier alles genauso,
> wie bei der ersten Gleichung.
Ja.
Auch hier bekommst Du x=28,
und auch hier mußt Du in die Ausgangsgleichung einsetzen, um zu schauen, ob dies wirklich eine Lösung ist.
Zu den Proben:
> Nun ist noch die Probe mit x=28 zu machen.
> Und hier taucht eine Unsicherheit auf.
> [mm]\wurzel{28-3}=5[/mm]
> [mm]\wurzel{25}=5[/mm]
> Gebe ich es in den TR ein, dann liefert der nur ein
> Ergebnis u. zwar
> 5.
Es gibt hier nur ein Ergebnis.
Es ist [mm] \wurzel{25}=5. [/mm] Nix anderes. Vor allem ist es nicht -5.
Du weißt nun, daß Du, wenn Du x=3 in [mm] \wurzel{x-3} [/mm] einsetzt, 5 herausbekommst, Du also Deine Gleichung [mm] \wurzel{x-3} [/mm] =5 gelöst hast.
> Die zweite Gleichung [mm]\wurzel{x-3}=-5[/mm]
> macht ein anderes Problem
> 2 Ergebnisse
> x=28 und x=-22
S. oben: nur ein Ergebnis, nämlich x=28.
.
> Mit x=28 die Probe ergibt
> [mm]\wurzel{25}=-5[/mm]
> 5=-5 ist falsch, das ist nicht dasselbe.
Genau. Deshalb hat diese Gleichung keine Lösung.
(Man hätte es eigentlich gleich sehen können, denn "Wurzel aus irgendwas" ist immer [mm] \le [/mm] 0.
> Was ist die Besonderheit bei der graf. Lösg.?
> Das man beide Seiten der Gleichung für sich als Graph
> auffasst u. guckt, wo die sich schneiden, da sind sie
> gleich? Ich finde es sehr interessant , aber ist das DIE
> Besonderheit?
Zeiche den Graphen der Funktion y=5, zeichne die graphen von [mm] y=\wurzel{x-3} [/mm] und [mm] y=-\wurzel{x-3} [/mm] .
Welcher der Wurzelgraphen schneidet y=5, welcher nicht?
Daß Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, hast Du am zweiten Beispiel [mm] \wurzel{x-3}=-5 [/mm] gesehen.
Quadrieren führte zu x-3=25.
Die zweite Gleichung hat eine Lösung x=28.
Dies ist keine Lösung der ersten Gleichung.
Also sind die beiden Gleichungen nicht äquivalent.
Es ist so: jede Lösung der nichtquadrierten Gleichung ist auch eine der quadrierten.
Aber nicht jede Lösung der quadrierten Gleichung ist zwangsläufig eine der nichtquadrierten.
Gruß v. Angela
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> Beispiel: x=5
> Quadrieren wir, so erhalten wir: [mm]x^2=25[/mm]
> Ziehen wir wieder die Wurzel: [mm]x=\pm[/mm] -5
Hallo,
so wie es jetzt dasteht, ist es nicht ganz richtig.
Sondern:
x=5
quadrieren ergibt [mm] x^2=25.
[/mm]
Diese Gleichung hat zwei Lösungen, denn es gibt zwei Zahlen, die quadriert 25 ergeben, nämlich [mm] x=\wurzel{25}=5 [/mm] und [mm] x=-\wurzel{25}=-5.
[/mm]
Wenn Du es mit "Wurzelziehen" ausdrücken wolltest, müßtest Du ausführlich schreiben:
[mm] x^2=25.
[/mm]
Wurzelziehen ergibt
|x|=5,
also ist x=5 oder x=-5.
Das ist Dir natürlich klar, vielleicht findest Du es kleinlich.
Ich schreibe dies, damit die Giraffe ein wenig entwirrt wird.
Hoffentlich bewirkt's nicht das Gegenteil...
Weiter unten schreibst Du, daß [mm] \wurzel{25}=\pm [/mm] 5.
Dies ist verkehrt. Die Wurzel ist immer positiv bzw. =0.
Richtig ist aber wie gesagt, daß die Quadratische Gleichung [mm] x^2=25 [/mm] zwei Lösungen hat.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:49 Sa 22.01.2011 | | Autor: | Giraffe |
Hi Angela,
>Das ist Dir natürlich klar, vielleicht findest Du es kleinlich.
gar nicht - alles gut. Sehr gut sogar.
>Ich schreibe dies, damit die Giraffe ein wenig entwirrt wird.
>Hoffentlich bewirkt's nicht das Gegenteil...
Nee, kein Gegenteil gut.
Endlich. Solche Abwege/Irrwege fressen nur (scheinbar unnötig) Zeit.
Habe alte Unterlagen zu dieser Aufg. gefunden, da wurde es auch nicht so gemacht, wie Adamantin es meinte.
(Trotzdem ist der viel viel besser in Mathe als ich).
Aber jetzt ist richtig was gerade gerückt u. graue Wolken verzogen.
Da hat sich auch was geklärt, was für alle anderen Aufg. gültig ist.
Ein Berg ist bewältigt. Er ist weg.
DANKE
Super
Sabine
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:00 Sa 22.01.2011 | | Autor: | Adamantin |
Der erste Hinweis ist in der Tat kleinlich aber um so wichtiger, aber das hatte ich ja mit Worten noch ausgedrückt. Hätte vielleicht mit den richtigen Symbolen schreiben sollen.
Aber der zweite Hinweis war mir in der Tat nicht so ganz bewusst, haha ;) In der Tat ist die Wurzel aus 25 wohl nur 5. Auch wenn ich dagegen argumentiere, dass doch auch [mm] (-5)^2=25 [/mm] ist, so ist es richtig, dass sie nur positiv definiert ist, das ist ein guter Einwand, danke ;)
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