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Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Verwenden Sie das Wurzel- oder Quotientenkriterium, um die Konvergenz der folgenden Reihen zu zeigen:
a) $\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(n!)^{2}}{(2n)!}$
b) $\summe_{n=0}^{\infty}\left( \bruch{n}{n+1} \right)^{n^{2}}$ |
Hallo,
bei der a) bräuchte ich an der markierten Stelle etwas Hilfe und bei der b) bitte ich um Korrektur (gerne auch einen Tipp, falls das evtl. leichter lösbar ist).
Bei der a) wende ich das Quotientenkriterium an:
$\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\bruch{((n+1)!)^{2}*(2n)!}{(2(n+1))!*(n!)^{2}}=???$
Bei der b) verwende ich das Wurzelkriterium:
$\wurzel[n]{ \left( \bruch{n}{n+1} \right)^{n^{2}} }=\wurzel[n]{ \bruch{n^{n^{2}}}{(n+1)^{n^{2}}} \right)}=\bruch{\wurzel[n]{n^{n^{2}}}}{\wurzel[n]{(n+1)^{n^{2}}}}=\bruch{(\wurzel[n]{n})^{n^{2}}}{\wurzel[n]{((n+1)^{n})^{n}}}=\bruch{(\wurzel[n]{n})^{n^{2}}}{(\wurzel[n]{(n+1)^{n}})^{n}}=\bruch{(\wurzel[n]{n})^{n^{2}}}{(n+1)^{n}}=\bruch{(\wurzel[n]{n})^{n^{2}}}{n(\bruch{n+1}{n})^{n}} \xrightarrow[n \to \infty]{}\bruch{1}{n*e}<1$
Also konvergiert die Reihe.
Vielen Dank für die Mühe!
Gruß
el_grecco
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> Verwenden Sie das Wurzel- oder Quotientenkriterium, um die
> Konvergenz der folgenden Reihen zu zeigen:
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> a) [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(n!)^{2}}{(2n)!}[/mm]
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> b) [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\left( \bruch{n}{n+1} \right)^{n^{2}}[/mm]
>
> Hallo,
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> bei der a) bräuchte ich an der markierten Stelle etwas
> Hilfe und bei der b) bitte ich um Korrektur (gerne auch
> einen Tipp, falls das evtl. leichter lösbar ist).
>
> Bei der a) wende ich das Quotientenkriterium an:
>
> [mm]\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\bruch{((n+1)!)^{2}*(2n)!}{(2(n+1))!*(n!)^{2}}=???[/mm]
es gilt z.b. (n+1)!=n!*(n+1)
und (2n+2)!=2n!*(2n+1)*(2n+2)
mach dir das am besten mit einem zahlenbeispiel klar
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> Bei der b) verwende ich das Wurzelkriterium:
>
> [mm]\wurzel[n]{ \left( \bruch{n}{n+1} \right)^{n^{2}} }=\wurzel[n]{ \bruch{n^{n^{2}}}{(n+1)^{n^{2}}} \right)}=\bruch{\wurzel[n]{n^{n^{2}}}}{\wurzel[n]{(n+1)^{n^{2}}}}=\bruch{(\wurzel[n]{n})^{n^{2}}}{\wurzel[n]{((n+1)^{n})^{n}}}=\bruch{(\wurzel[n]{n})^{n^{2}}}{(\wurzel[n]{(n+1)^{n}})^{n}}=\bruch{(\wurzel[n]{n})^{n^{2}}}{(n+1)^{n}}=\bruch{(\wurzel[n]{n})^{n^{2}}}{n(\bruch{n+1}{n})^{n}} \xrightarrow[n \to \infty]{}\bruch{1}{n*e}<1[/mm]
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> Also konvergiert die Reihe.
>
>
> Vielen Dank für die Mühe!
>
> Gruß
> el_grecco
>
gruß tee
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| Aufgabe | Verwenden Sie das Wurzel- oder Quotientenkriterium, um die Konvergenz der folgenden Reihen zu zeigen:
a) $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(n!)^{2}}{(2n)!} [/mm] $
b) $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\left( \bruch{n}{n+1} \right)^{n^{2}} [/mm] $ |
Vielen Dank soweit fencheltee,
kurz nochmal zur a):
$ [mm] \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\bruch{((n+1)!)^{2}\cdot{}(2n)!}{(2(n+1))!\cdot{}(n!)^{2}}=\bruch{(n!(n+1))^{2}*(2n)!}{(2n+2)!*(n!)^{2}}=\bruch{(n!(n+1))(n!(n+1))*(2n)!}{(2n)!*(2n+1)(2n+2)*(n!)(n!)}=\bruch{(n!(n+1))(n!(n+1))}{(2n+1)*2(n+1)(n!)(n!)}=\bruch{(n+1)}{2(2n+1)}=???$
[/mm]
Bis auf dass man vielleicht schreiben könnte [mm] $=\bruch{n+1}{4n+2}=\bruch{n\left( 1+\frac{1}{n} \right)}{4n\left( 1+\frac{1}{2n} \right)}=\bruch{1}{4}*\left( \frac{1+\bruch{1}{n}}{1+\bruch{1}{2n}} \right)$ [/mm] habe ich leider keine zielführende Idee.
Bin für jeden Tipp wirklich sehr dankbar.
Gruß
el_grecco
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> Verwenden Sie das Wurzel- oder Quotientenkriterium, um die
> Konvergenz der folgenden Reihen zu zeigen:
>
> a) [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(n!)^{2}}{(2n)!}[/mm]
>
> b) [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\left( \bruch{n}{n+1} \right)^{n^{2}}[/mm]
>
> Vielen Dank soweit fencheltee,
>
> kurz nochmal zur a):
>
> [mm]\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\bruch{((n+1)!)^{2}\cdot{}(2n)!}{(2(n+1))!\cdot{}(n!)^{2}}=\bruch{(n!(n+1))^{2}*(2n)!}{(2n+2)!*(n!)^{2}}=\bruch{(n!(n+1))(n!(n+1))*(2n)!}{(2n)!*(2n+1)(2n+2)*(n!)(n!)}=\bruch{(n!(n+1))(n!(n+1))}{(2n+1)*2(n+1)(n!)(n!)}=\bruch{(n+1)}{2(2n+1)}=???[/mm]
>
> Bis auf dass man vielleicht schreiben könnte
> [mm]=\bruch{n+1}{4n+2}=\bruch{n\left( 1+\frac{1}{n} \right)}{4n\left( 1+\frac{1}{2n} \right)}=\bruch{1}{4}*\left( \frac{1+\bruch{1}{n}}{1+\bruch{1}{2n}} \right)[/mm]
> habe ich leider keine zielführende Idee.
[mm] \bruch{n+1}{4n+2}
[/mm]
das hier reicht doch.. das ist so das elementarste was man bekommt wenn es um grenzwerte geht.. es ist evtl sogar so trivial, dass du das gar nicht mehr siehst ;)
hier interessieren nur die koeffizienten der höchsten potenz (hier im zähler 1 und im nenner 4 - nachprüfbar über de l'hospital)
das mit dem ausklammern und kürzen des n's geht auch.
auch hier bleibt beim grenzübergang 1/4 stehen
>
>
> Bin für jeden Tipp wirklich sehr dankbar.
>
> Gruß
> el_grecco
>
gruß tee
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| Aufgabe | Verwenden Sie das Wurzel- oder Quotientenkriterium, um die Konvergenz der folgenden Reihen zu zeigen:
a) $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(n!)^{2}}{(2n)!} [/mm] $
b) $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\left( \bruch{n}{n+1} \right)^{n^{2}} [/mm] $ |
Hallo tee,
> [mm]\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\bruch{((n+1)!)^{2}\cdot{}(2n)!}{(2(n+1))!\cdot{}(n!)^{2}}=\bruch{(n!(n+1))^{2}*(2n)!}{(2n+2)!*(n!)^{2}}=\bruch{(n!(n+1))(n!(n+1))*(2n)!}{(2n)!*(2n+1)(2n+2)*(n!)(n!)}=\bruch{(n!(n+1))(n!(n+1))}{(2n+1)*2(n+1)(n!)(n!)}=\bruch{(n+1)}{2(2n+1)}=???[/mm]
> >
> > Bis auf dass man vielleicht schreiben könnte
> > [mm]=\bruch{n+1}{4n+2}=\bruch{n\left( 1+\frac{1}{n} \right)}{4n\left( 1+\frac{1}{2n} \right)}=\bruch{1}{4}*\left( \frac{1+\bruch{1}{n}}{1+\bruch{1}{2n}} \right)[/mm]
> > habe ich leider keine zielführende Idee.
> [mm]\bruch{n+1}{4n+2}[/mm]
> das hier reicht doch.. das ist so das elementarste was man
> bekommt wenn es um grenzwerte geht.. es ist evtl sogar so
> trivial, dass du das gar nicht mehr siehst ;)
ich sehe es echt nicht. Habe ich das richtig verstanden, dass auf jeden Fall entweder der l'Hopital angewendet werden muss oder das 1/4 ausgeklammert werden muss...?
> hier interessieren nur die koeffizienten der höchsten
> potenz (hier im zähler 1 und im nenner 4 - nachprüfbar
> über de l'hospital)
> das mit dem ausklammern und kürzen des n's geht auch.
> auch hier bleibt beim grenzübergang 1/4 stehen
Was ist dann eigentlich hiervon [mm] $\left( \frac{1+\bruch{1}{n}}{1+\bruch{1}{2n}} \right)$ [/mm] der Grenzwert?
> gruß tee
Danke
&
Gruß
el_grecco
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> Was ist dann eigentlich hiervon [mm]\left( \frac{1+\bruch{1}{n}}{1+\bruch{1}{2n}} \right)[/mm]
> der Grenzwert?
Guten Tag,
der Begriff "Sätze über das Rechnen mit Grenzwerten" sagt
dir aber schon etwas, oder ? Zum Beispiel:
Haben die Folgen [mm] [/mm] und [mm] [/mm] mit $\ [mm] {\forall n\in\IN:\ b_n}\not=0$ [/mm] die
Grenzwerte A und B (mit B≠0) , so hat die Folge [mm] [/mm]
mit [mm] q_n=\frac{a_n}{b_n} [/mm] den Grenzwert [mm] \frac{A}{B}
[/mm]
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:15 Mi 19.01.2011 | | Autor: | el_grecco |
Hi Al,
Danke für Deine Antwort. Jetzt ist mir das Ende natürlich klar. Lag davor wohl an der vorangeschrittenen Stunde...
Gruß
el_grecco
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> Verwenden Sie das Wurzel- oder Quotientenkriterium, um die
> Konvergenz der folgenden Reihen zu zeigen:
>
> a) [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{(n!)^{2}}{(2n)!}[/mm]
>
> b) [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\left( \bruch{n}{n+1} \right)^{n^{2}}[/mm]
>
> Hallo,
>
> bei der a) bräuchte ich an der markierten Stelle etwas
> Hilfe und bei der b) bitte ich um Korrektur (gerne auch
> einen Tipp, falls das evtl. leichter lösbar ist).
>
> Bei der a) wende ich das Quotientenkriterium an:
>
> [mm]\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\bruch{((n+1)!)^{2}*(2n)!}{(2(n+1))!*(n!)^{2}}=???[/mm]
>
>
> Bei der b) verwende ich das Wurzelkriterium:
>
> [mm]\wurzel[n]{ \left( \bruch{n}{n+1} \right)^{n^{2}} }=\wurzel[n]{ \bruch{n^{n^{2}}}{(n+1)^{n^{2}}} \right)}=\bruch{\wurzel[n]{n^{n^{2}}}}{\wurzel[n]{(n+1)^{n^{2}}}}=\bruch{(\wurzel[n]{n})^{n^{2}}}{\wurzel[n]{((n+1)^{n})^{n}}}=\bruch{(\wurzel[n]{n})^{n^{2}}}{(\wurzel[n]{(n+1)^{n}})^{n}}=\bruch{(\wurzel[n]{n})^{n^{2}}}{(n+1)^{n}}=\bruch{(\wurzel[n]{n})^{n^{2}}}{n(\bruch{n+1}{n})^{n}} \xrightarrow[n \to \infty]{}\bruch{1}{n*e}<1[/mm]
beim vorletzten schritt hast du ja n ausklammern wollen, da wird aber [mm] n^n [/mm] draus, das kürzt sich dann mit dem zähler und 1/e bleibt über
das geht aber auch, wenn du
[mm] \wurzel[n]{ \left( \bruch{n}{n+1} \right)^{n^{2}} }=\left( \left( \bruch{n}{n+1} \right)^{n*n}\right)^{\frac{1}{n}}=\left( \bruch{n+1}{n} \right)^{-n}=\frac{1}{\left( \bruch{n+1}{n} \right)^{n}}=...
[/mm]
>
> Also konvergiert die Reihe.
>
>
> Vielen Dank für die Mühe!
>
> Gruß
> el_grecco
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gruß tee
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