Wurzel(2Pi) in Normalvert. < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Kann mir vielleicht jemand sagen woher das [mm] \wurzel{2\pi } [/mm] in der Normalverteilung kommt?
Danke!
MfG, Coffein18
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:33 Fr 26.09.2008 | | Autor: | Walde |
Hi Coffein18,
kurze Antwort:
das liegt daran,dass der Flächeninhalt unter der Dichtefunktion 1 ergeben muss (siehe auch ![[]](/images/popup.gif) hier in der Wikipedia).
Da [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-\bruch{x^2}{2}} dx}=\wurzel{2\pi}
[/mm]
brauch man einen Normierungsfaktor (nämlich [mm] \bruch{1}{\wurzel{2\pi}
}) [/mm] vor dem Integral (,damit es insgesamt 1 ergibt). Falls übrigens [mm] \sigma\not=1 [/mm] kommt auch noch [mm] \bruch{1}{\sigma} [/mm] als Normierungsfaktor dazu.
Lg walde
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> Hallo!
> Kann mir vielleicht jemand sagen woher das [mm]\wurzel{2\pi }[/mm]
> in der Normalverteilung kommt?
> Danke!
> MfG, Coffein18
Zusatz zur Antwort von Walde:
Um den Wert des uneigentlichen bestimmten Integrals
[mm] I=\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-\bruch{x^2}{2}} dx}
[/mm]
das man nicht mittels einer Stammfunktion berechnen kann,
trotzdem zu ermitteln, betrachtet man die Rotationsfläche
[mm] z=e^{-\bruch{r^2}{2}}=e^{-\bruch{x^2+y^2}{2}}=e^{-\bruch{x^2}{2}}*e^{-\bruch{y^2}{2}}
[/mm]
Bei der Berechnung des Volumens, das zwischen dieser Fläche
und der Ebene z=0 eingeschlossen ist, kommt man dann auf
eine Gleichung, aus der man den Wert von I ermitteln kann. (***)
Dass in der Volumenformel für einen Rotationskörper die
Zahl [mm] \pi [/mm] auftritt, ist wohl um einiges weniger rätselhaft als
das Vorkommen von [mm] \pi [/mm] in einer Formel der Statistik !
Gruß Al-Chwarizmi
(***) Man drückt das Volumen auf zwei verschiedene
Arten durch ein Doppelintegral aus: einerseits in den
cartesischen Koordinaten x und y, andererseits in
Polarkoordinaten r und [mm] \varphi. [/mm] Die Integration in
Polarkoordinaten führt auf ein einfach zu lösendes
Integral mit dem Wert [mm] 2*\pi. [/mm] Das Doppelintegral in
x und y zerfällt in ein Produkt von einfachen Integralen,
das gleich [mm] I^2 [/mm] ist.
Daraus folgt [mm] I^2=2*\pi [/mm] und [mm] I=\wurzel{2*\pi}
[/mm]
Dass [mm] \wurzel{2*\pi} [/mm] in der Dichtefunktion der Normal-
verteilung im Nenner vorkommt, kommt daher,
dass für eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f(x)
über [mm] \IR [/mm] die Gleichung [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}f(x)\ [/mm] dx=1
gelten muss. Die noch nicht normierte Funktion
[mm] e^{-x^2/2} [/mm] muss deshalb durch I= [mm] \wurzel{2*\pi} [/mm] dividiert
werden.
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