Wurzel 2 keine rationale Zahl < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:26 Mi 01.07.2009 | | Autor: | durden88 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass Wurzel 2 keine rationale Zahl ist, sich also nicht als Bruch schreiben lässt. Zeigen sie außerdem, dass Wurzel 3 keine rationale Zahl ist. |
Hi Leute,
also ich weiss auf jeden Fall das ich mit Primzahlen argumentieren kann.
Bei beiden gehe ich so vor, dass wenn [mm] \wurzel{2} [/mm] , [mm] \wurzel{3} [/mm] rationale Zahlen währen diese in der Form: [mm] \bruch{a}{b} [/mm] schreiben kann, also als vollständig gekürzten Bruch.
Ich quadriere diese Gleichung dann und stelle auf a um...weiter weiss ich nicht, da es zwar für beide Wurzeln das gleiche Verfahren sein soll, aber nach den Schritt bei beiden anders argumentiert wird.
Hab ich das auch richtig durchschaut, dass man keine Wurzeln einer Primzahl als [mm] \IQ [/mm] schrieben kann?
Währe sehr nett, wenn einer mir das erklären könnte, zumal ich Primzahlen leider noch nicht hatte :(
Vielen dank!
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Die Kernidee ist die der "Eindeutigen Primfaktorzerlegung", d.h. wenn du dir eine beliebige natürliche Zahl nimmst, dann kannst du die als ein Produkt von Primzahlen schreiben - und diese Zerlegung sieht immer gleich aus, z.B. 18 = 2*3*3. Das geht nicht anders (Vertauschung wie 3*2*3 zählt natürlich nicht als anders). Auch die Multiplikation mit "1ern" ändert nichts daran (und macht ja auch wenig Sinn).
Primzahlen sind ja Zahlen mit genau zwei Teilern, deren herausragende Eigenschaft ist, dass diese beiden Teiler die 1 und sie selbst sind (deswegen kann die 1 auch keine Primzahl sein, die hat nämlich nur einen Teiler), die kann man also nicht weiter zerlegen.
So viel erstmal als Vorgeplänkel.
Jetzt machst du richtigerweise deinen Ansatz als Bruch, d.h. du nimmst an, dass [mm] \wurzel{2} [/mm] doch eine rationale Zahl ist:
[mm]\wurzel{2} = \bruch{a}{b} [/mm] | [mm] ()^2
[/mm]
[mm]\Rightarrow 2 = \bruch{a^2}{b^2}[/mm] [mm] |*b^2
[/mm]
[mm]\Rightarrow 2*b^2 = a^2[/mm]
So - und jetzt benutzt du dein Wissen über die eindeutige Primfaktorzerlegung (PFZ). Die 2 ist ja eine Primzahl und steht links im Produkt drin. Weil das gleich [mm] a^2 [/mm] sein soll, muss [mm] a^2 [/mm] (und damit auch a) notwendigerweise eine gerade Zahl sein, d.h. a hat die 2 als einen Primfaktor. Wenn a die 2 als Primfaktor hat, dann muss [mm] a^2 [/mm] die 2 doppelt als Primfaktor haben. Vielleicht steckt die 2 auch noch häufiger in dem a drin (Bsp.: a = 24 = [mm] 2*2*2*3=2^3*3), [/mm] aber egal wie oft das auch sein mag - im [mm] a^2 [/mm] steckt sie genau doppelt so oft drin, d.h. wenn du für das [mm] a^2 [/mm] die PFZ aufschreibst, muss die 2 auf jeden Fall in einer geraden Anzahl auftauchen (im Beispiel: a=24, da steckt die 2 dreimal drin, in [mm] a^2 [/mm] steckt sie dann 6-mal drin).
Auf der linken Seite kannst du jetzt genau das gleiche für [mm] b^2 [/mm] feststellen, wobei es sein könnte, dass da überhaupt keine 2 drin steckt, aber wenn, dann muss es (aus den gleichen Gründen wie bei [mm] a^2) [/mm] auch eine gerade Anzahl von 2ern sein.
Jetzt steht da aber [mm] 2*b^2 [/mm] und damit hast du auf der linken Seite eine ungerade Anzahl an 2ern und auf der rechten eine gerade Anzahl an 2ern und das kann nicht sein.
Aber wenn das nicht sein kann, dann kannst du deinen ersten Schritt auch nicht machen, d.h. [mm] \wurzel{2} [/mm] kannst du nicht als Bruch schreiben.
Den gleichen Gedankengang kannst du für die Wurzel aus einer beliebigen Primzahl machen (2, 3, 5, 7, 11, 13, ....), du musst nur überall die 2 durch diese Zahl ersetzen.
Wenn du jetzt z.B. nachweisen sollst, dass auch [mm] \wurzel{6} [/mm] keine rationale Zahl ist, also auch kein Bruch, musst du ein kleines bisschen was an der Argumentation ergänzen/ändern. Vielleicht magst du das als Übung machen, dann verstehst du es bestimmt noch besser. Du kannst das auch mal für [mm] \wurzel{9} [/mm] probieren, was ja 3 ergibt und überlegen, warum diese Erklärung bei der 9 scheitert und es dafür dann doch einen Bruch gibt (3 = [mm] \bruch{3}{1}).
[/mm]
Anmerkung: Im "klassischen" Beweis wird ein kleines bisschen anders argumentiert, aber ich finde diese Erklärung hier, die über die Anzahl der Primfaktoren geht, einsichtiger. Der andere Beweis ist aber auch nicht schwer.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 Mi 01.07.2009 | | Autor: | durden88 |
Hey,
wirklich didaktisch perfekt respekt :)
Was ich nicht verstanden habe, warum ist auf der linken Seite eine ungerade Anzahl von 2ern?
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:46 Mi 01.07.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast
d=2*e²
e habe nun den Primfaktor 2 genau "m-mal" enthalten, also enthält e² den Primfaktor 2 genau "2m-mal".
Und da d=2e² hat d den Primfaktor 2 "(2m+1)-mal" und 2m+1 ist ungerade für jedes [mm] m\in\IN
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 Fr 24.07.2009 | | Autor: | durden88 |
wie mach ich das denn jetzt bei einer ungeraden Primzahl? Zum Beispiel 3, da ist das Produkt ja nichtmehr gerade?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:29 Fr 24.07.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo durden!
Wie bereits oben angedeutet, funktioniert der Beweis auch für [mm] $\wurzel{3}$ [/mm] analog.
Setze voraus, dass [mm] $\wurzel{3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{a}{b}$ [/mm] mit [mm] $a,b\in\IN [/mm] \ [mm] \text{ sowie} [/mm] \ a,b \ [mm] \text{teilerfremd}$ [/mm] .
Dies führst Du dann wie oben zum Widerspruch.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 Fr 24.07.2009 | | Autor: | durden88 |
Also ich versuch mal ( in kürze) [mm] \wurzel{3} [/mm] mittels eindeutigen Primfaktorzerlegung zu beweisen. Also [mm] \wurzel{3} [/mm] = [mm] \bruch{a}{b} [/mm]
dann 3 * [mm] b^2 =a^2
[/mm]
Also muss a die 3 als Primzahl haben, und weils [mm] a^2 [/mm] ist doppelt haben (also eine gerade anzahl von 3ern). Weil aber links die 3 als Faktor schon steht, muss es eine ungerade Anzahl von 3ern sein, also ist das ein wiederspruch!
Sagt bitte ich habe richtig argumentiert :) vielen Dank :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:46 Fr 24.07.2009 | | Autor: | Infinit |
Ja, wie Loddar schon sagte, die Beweisführung ist analog zu [mm] \wurzel{2} [/mm].
Viele Grüße,
Infinit
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