Wurzel X größer Log x < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hey Leute,
ich brauche für einen Teil eines Beweises, den ich im Rahmen einer Ausarbeitung mache, dass gilt:
[mm] \wurzel{x}\ge [/mm] log(x)
Ich dachte mir das so zu zeigen:
[mm] \wurzel{x}\ge log(x)\gdw e^{\wurzel{x}}\ge x\gdw \bruch{e^{\wurzel{x}}}{x}\ge1
[/mm]
Wegen [mm] e^{x}\ge1+x
[/mm]
dachte ich mir:
[mm] \bruch{e^{\wurzel{x}}}{x}\ge\bruch{1+\wurzel{x}}{x}
[/mm]
Umformen
[mm] \bruch{e^{\wurzel{x}}-1-\wurzel{x}}{x}\ge0
[/mm]
Reihenentwicklung liefert dann:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(\wurzel{x})^k}{k!}-1-\wurzel{x}\ge0
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(\wurzel{x})^k}{k!}-\wurzel{x}\ge0
[/mm]
Aber irgendwie komme ich noch nicht ganz dahinter, dass meine Ungleichung stimmt.... habt ihr vllt ne bessere und auch kürzere Idee?
Beste Grüße und Danke :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:39 Mi 17.08.2016 | | Autor: | fred97 |
Für 0<x<1 ist die Ungleichung richtig, denn log(x) <0 für diese x.
Sei also x [mm] \ge [/mm] 1. Dafür definiere f(x)= [mm] \wurzel{x}-log(x).
[/mm]
Nun machst Du wie in der Schule ein Kurvendiskussion:
wo ist der Graph von f fallend ?
wo ist der Graph von f fallend ?
wo ist f'(x)=0 ?
Dann solltest Du Land sehen
FRED
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