Wurzel aus (-1) < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:53 So 19.10.2014 | | Autor: | rubi |
Hallo zusammen,
ich habe eine vermutlich ganz banale Frage.
Bisher hatte ich gedacht, dass i = [mm] \wurzel{-1} [/mm] ist (und das steht auch so als Definition in einem Analysisbuch, das bei mir im Schrank steht)
Nun habe ich aber in einem Buch gelesen, dass die Darstellung mit dem Wurzelausdruck zu Schwierigkeiten führt, da
[mm] \wurzel{-1} [/mm] * [mm] \wurzel{-1} [/mm] = [mm] \wurzel{(-1)*(-1)} [/mm] = [mm] \wurzel{1} [/mm] = 1 sei.
Heißt dies nun, dass auch innerhalb der komplexen Zahlen die Zahl [mm] \wurzel{-1} [/mm] nicht definiert ist, da es zu Widersprüchen führt, wenn einerseits [mm] \wurzel{-1} [/mm] * [mm] \wurzel{-1} [/mm] = 1 gilt und andererseits man erwartet, dass [mm] \wurzel{-1} [/mm] * [mm] \wurzel{-1} [/mm] = -1 ist.
Kann man also [mm] \wurzel{-1} [/mm] nicht durch i ersetzen ?
Oder heißt dies, dass i sehr wohl [mm] \wurzel{-1} [/mm] ist und dass man nur die vom Reellen bekannten Wurzelgesetze im Komplexen einfach nicht nutzen darf ?
Bisher bin ich mit der Problematik scheinbar relativ oberflächlich umgegangen, z.B. bei [mm] \wurzel{-16} [/mm] = [mm] \wurzel{16*(-1)} [/mm] = [mm] \wurzel{16} [/mm] * [mm] \wurzel{-1} [/mm] = 4i
Vielen Dank für Eure Antworten !
Viele Grüße
Rubi
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo, dieses Problem hat nichts mit komplexen Zahlen zu tun.
Es ist auch [mm] $-10=\sqrt{(-10)^2}=\sqrt(10^2)=10$ [/mm] - oder? Es ist nun einmal so, dass bis auf $a=0$ die Gleichung [mm] $x^2=a$ [/mm] stets zwei Lösungen hat, man muss sich also bei der Definition von [mm] $\sqrt{a}$ [/mm] für eine der beiden entscheiden. Im reellen ist eine der beiden Lösungen positiv, die andere negativ, man entscheidet sich dann für die positive. Im Komplexen ist aber keine der beiden Lösungen der anderen vorzuziehen, deshalb ist nicht klar, ob man [mm] $\sqrt{-1}$ [/mm] als $i$ oder als $-i$ definieren möchte, denn das Quadrat beider Zahlen ist $-1$.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:08 So 19.10.2014 | | Autor: | rubi |
Hallo UniversellesObjekt,
deine Antwort hilft mir glaube ich noch nicht weiter.
Im Reellen ist klar, dass ich die Wurzel eben so definiere, dass nur eine positive Zahl im Ergebnis entstehen darf.
Wenn ich mir nun aussuchen kann, wie ich [mm] \wurzel{-1} [/mm] definiere und ich wähle i = [mm] \wurzel{-1}, [/mm] bekomme ich doch aber ein Problem, weil daraus dann mit Anwendung der Wurzelgesetze i² = 1 folgen würde, was ja aber falsch ist.
Wie gehe ich also um, wenn irgendwo in einer Rechnung [mm] \wurzel{-1} [/mm] steht ?
Muss ich dann schreiben, dass der Ausdruck nicht definiert ist ?
Viele Grüße
Rubi
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Hallo Rubi,
ich sehe das wie du, dass die vorherige Antwort nicht wirklich zielführend ist.
Dein Problem kommt einfach daher, dass du etwas anwendest, ohne dich zu vergewissern, dass es in dem Raum, in dem du arbeitest, überhaupt erlaubt ist. In diesem Fall die Wurzelgesetze.
Du verwendest, ohne Beweis, dass die Wurzelgesetze, die du aus [mm] \IR [/mm] kennst sich ohne weiteres auf [mm] \IC [/mm] übertragen lassen. Dem ist aber nicht so und dein Beispiel ist genau eins, wo es eben schief geht.
Ganz analog verhält es sich übrigens mit einer Ordnung: Du kennst eine Ordnung auf [mm] $\IR$, [/mm] allerdings lassen sich die komplexen Zahlen nicht so ordnen, dass deine Ordnung auf [mm] \IR [/mm] erhalten bleibt.
Eine Erweiterung des Zahlenbereiches geht in diesem Fall also einher mit dem Verlust anderer Dinge. Kein Gewinn ohne Verlust, um es mal lapidar zu sagen 
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 So 19.10.2014 | | Autor: | rubi |
Hallo Gonozal_IX,
vielen Dank, das hat mir weitergeholfen.
Ich darf also sehr wohl für den Ausdruck [mm] \wurzel{-1} [/mm] = i setzen bzw. mir das so definieren, ich darf nur die im Reellen bekannten Wurzelgesetze nicht mehr verwenden.
Wie gehe ich dann mit [mm] \wurzel{-16} [/mm] um ?
Dann darf ich diese streng genommen auch nicht zerlegen in [mm] \wurzel{16} [/mm] * [mm] \wurzel{-1} [/mm] = 4 * i, weil da verwende ich ja auch das Wurzelgesetz, oder ?
Oder ist das Wurzelgesetz nur nicht mehr erlaubt, wenn ich zwei negative Zahlen multipliziere ?
Viele Grüße
Rubi
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Hiho,
> ich darf nur die im Reellen bekannten Wurzelgesetze nicht mehr verwenden.
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> Wie gehe ich dann mit [mm]\wurzel{-16}[/mm] um ?
> Dann darf ich diese streng genommen auch nicht zerlegen in
> [mm]\wurzel{16}[/mm] * [mm]\wurzel{-1}[/mm] = 4 * i, weil da verwende ich ja
> auch das Wurzelgesetz, oder ?
streng genommen hast du recht.
> Oder ist das Wurzelgesetz nur nicht mehr erlaubt, wenn ich
> zwei negative Zahlen multipliziere ?
Genrell gilt es nicht, für die Zerlegung in eine positive und eine negative Zahl bekommst du aber trotzdem immer ein korrektes Ergebnis.
Gruß,
Gono
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 01:38 Mo 04.07.2016 | | Autor: | Psychopath |
> > Wie gehe ich dann mit [mm]\wurzel{-16}[/mm] um ?
> > Dann darf ich diese streng genommen auch nicht zerlegen in
> > [mm]\wurzel{16}[/mm] * [mm]\wurzel{-1}[/mm] = 4 * i, weil da verwende ich ja
> > auch das Wurzelgesetz, oder ?
> streng genommen hast du recht.
> Genrell gilt es nicht, für die Zerlegung in eine positive
> und eine negative Zahl bekommst du aber trotzdem immer ein
> korrektes Ergebnis.
> Gruß,
> Gono
Nein, die Zerlegung ist nur zufällig richtig, denn [mm]\wurzel{-16}[/mm] hat (auch laut dem wolframalpha Programm) die Lösungen 4i und -4i . Das dies beim Lösen von quadratischen Gleichungen nicht zu einem fehlenden Ergebnis führt, liegt daran, dass in der Lösungsformel zufällig ein +/- vorkommt.
Nachtrag:
Hier noch ein Link zu einem Video zum Thema:
https://www.youtube.com/watch?v=5iCoBU0o86Q
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:13 So 19.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo rubi!
> Ich darf also sehr wohl für den Ausdruck [mm]\wurzel{-1}[/mm] = i
> setzen bzw. mir das so definieren,
Ich sehe keinen näheren Nutzen in dieser Definition, aber natürlich kannst du diese Definition treffen.
> Wie gehe ich dann mit [mm]\wurzel{-16}[/mm] um ?
Zunächst einmal müsstest du definieren, was mit [mm] $\wurzel{-16}$ [/mm] überhaupt gemeint sein soll.
Mir gefällt die folgende Sprechweise besser:
Sei $z$ eine komplexe Zahl. Dann heißt eine komplexe Zahl $w$ eine Wurzel von $z$, falls [mm] $w^2=z$ [/mm] gilt.
In diesem Sinne hat $-16$ eben (genau wie jede andere komplexe Zahl außer der $0$) zwei Wurzeln (nämlich $4i$ und $-4i$).
Der Ausdruck [mm] $\wurzel{-16}$ [/mm] erscheint mir nicht sonderlich sinnvoll, auch wenn es Autoren geben mag, die ihn verwenden wollen.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:04 So 19.10.2014 | | Autor: | felixf |
Moin Gono,
eine kleine Spitzfindigkeit:
> Ganz analog verhält es sich übrigens mit einer Ordnung:
> Du kennst eine Ordnung auf [mm]\IR[/mm], allerdings lassen sich die
> komplexen Zahlen nicht so ordnen, dass deine Ordnung auf
> [mm]\IR[/mm] erhalten bleibt.
eine solche Ordnung gibt es sehr wohl (sogar unendlich viele). Nur sind diese alle nicht mit der Körperstruktur von [mm] $\IC$ [/mm] kompatibel, das Resultat ist also kein angeordneter Körper.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:40 So 19.10.2014 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo Felix,
danke für die Korrektur, die durchaus keine Spitzfindigkeit ist. Bin da nach dem Posten in meinem Kopf nämlich selbst drüber gestolpert.
Gruß,
Gono
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