Wurzel vom Polynom < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 Mi 22.10.2014 | | Autor: | mariem |
Hallo!!!
[mm] f(x)=x^3+6x-14 \in \mathbb{Q}
[/mm]
Ich soll zeigen dass das Polynom f(x) genau eine positive reele Wurzel, a [mm] \in \mathbb{R}, [/mm] a>0, und zwei komplexe Wurzeln b, [mm] \overline{b} \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R} [/mm] hat.
Ih habe folgendes versucht:
[mm] f'(x)=3x^2+6>0
[/mm]
Also hat f(x) maximum eine reele Wurzel.
f(0)=-14<0
f(2)=6>0
Also, vom Bolzano, haben wir dass f(x) mindestens eine reele Wurzel in (0,2) hat.
Also hat f(x) genau eine reele Wurzel x, x [mm] \in [/mm] (0,2).
Wie kann ich zeigen dass f(x) ausserdem noch die Wurzeln b, [mm] \overline{b} \in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R} [/mm] hat?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:29 Mi 22.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!!!
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> [mm]f(x)=x^3+6x-14 \in \mathbb{Q}[/mm]
>
> Ich soll zeigen dass das Polynom f(x) genau eine positive
> reele Wurzel, a [mm]\in \mathbb{R},[/mm] a>0, und zwei komplexe
> Wurzeln b, [mm]\overline{b} \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}[/mm]
> hat.
>
> Ih habe folgendes versucht:
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> [mm]f'(x)=3x^2+6>0[/mm]
>
> Also hat f(x) maximum eine reele Wurzel.
Du meinst sicher, dass f höchstens eine reelle Nullstelle hat.
Ich würde das noch ein wenig ausführlicher begründen: es ist f'>0 auf [mm] \IR, [/mm] somit ist f auf [mm] \IR [/mm] streng monoton wachsend.
>
> f(0)=-14<0
> f(2)=6>0
> Also, vom Bolzano, haben wir dass f(x) mindestens eine
> reele Wurzel in (0,2) hat.
>
> Also hat f(x) genau eine reele Wurzel x, x [mm]\in[/mm] (0,2).
O.K.
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> Wie kann ich zeigen dass f(x) ausserdem noch die Wurzeln b,
> [mm]\overline{b} \in \mathbb{C}\setminus \mathbb{R}[/mm] hat?
Sei [mm] x_0 \in [/mm] (0,2) die reelle Nullstelle von f, also [mm] f(x_0)=0.
[/mm]
Dann lässt sich f wie folgt darstellen:
[mm] f(x)=(x-x_0)(x^2+px+q) [/mm] mit p,q [mm] \in \IR.
[/mm]
Da f nur eine relle Nullstelle hat, ist [mm] x^2+px+q \ne [/mm] 0 für alle x [mm] \in \IR.
[/mm]
Die Gleichung
[mm] x^2+px+q=0
[/mm]
hat aber Lösungen b und c [mm] \in \IC. [/mm] So, nun begründe Du, warum $c= [mm] \overline{b}$ [/mm] gilt.
FRED
>
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 Mi 22.10.2014 | | Autor: | mariem |
> Sei [mm]x_0 \in[/mm] (0,2) die reelle Nullstelle von f, also
> [mm]f(x_0)=0.[/mm]
>
> Dann lässt sich f wie folgt darstellen:
>
> [mm]f(x)=(x-x_0)(x^2+px+q)[/mm] mit p,q [mm]\in \IR.[/mm]
>
Wieso gilt p,q [mm] \in \mathbb{R} [/mm] and nicht in [mm] \mathbb{Q} [/mm] wenn [mm] f(x)\in \mathbb{Q}[x]?
[/mm]
> Da f nur eine relle Nullstelle hat, ist [mm]x^2+px+q \ne[/mm] 0 für
> alle x [mm]\in \IR.[/mm]
>
> Die Gleichung
>
> [mm]x^2+px+q=0[/mm]
>
> hat aber Lösungen b und c [mm]\in \IC.[/mm] So, nun begründe Du,
> warum [mm]c= \overline{b}[/mm] gilt.
>
[mm] g(x)=x^2+px+q [/mm]
g(b)=0 [mm] \Rightarrow b^2+pb+q=0 \Rightarrow \overline{b^2+pb+q}=\overline{0}\Rightarrow \overline{b}^2+p\overline{b}+q=0 \Rightarrow g(\overline{b})=0
[/mm]
Da aber g(x) nur zwei Nullstellen hat, muss [mm] c=\overline{b} [/mm] .
Ist das richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:26 Mi 22.10.2014 | | Autor: | fred97 |
> > Sei [mm]x_0 \in[/mm] (0,2) die reelle Nullstelle von f, also
> > [mm]f(x_0)=0.[/mm]
> >
> > Dann lässt sich f wie folgt darstellen:
> >
> > [mm]f(x)=(x-x_0)(x^2+px+q)[/mm] mit p,q [mm]\in \IR.[/mm]
> >
>
> Wieso gilt p,q [mm]\in \mathbb{R}[/mm] and nicht in [mm]\mathbb{Q}[/mm] wenn
> [mm]f(x)\in \mathbb{Q}[x]?[/mm]
>
>
> > Da f nur eine relle Nullstelle hat, ist [mm]x^2+px+q \ne[/mm] 0 für
> > alle x [mm]\in \IR.[/mm]
> >
> > Die Gleichung
> >
> > [mm]x^2+px+q=0[/mm]
> >
> > hat aber Lösungen b und c [mm]\in \IC.[/mm] So, nun begründe Du,
> > warum [mm]c= \overline{b}[/mm] gilt.
> >
>
> [mm]g(x)=x^2+px+q[/mm]
>
> g(b)=0 [mm]\Rightarrow b^2+pb+q=0 \Rightarrow \overline{b^2+pb+q}=\overline{0}\Rightarrow \overline{b}^2+p\overline{b}+q=0 \Rightarrow g(\overline{b})=0[/mm]
>
> Da aber g(x) nur zwei Nullstellen hat, muss [mm]c=\overline{b}[/mm]
Ja
FRED
> .
>
>
> Ist das richtig?
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 Mi 22.10.2014 | | Autor: | mariem |
> > > Sei [mm]x_0 \in[/mm] (0,2) die reelle Nullstelle von f, also
> > > [mm]f(x_0)=0.[/mm]
> > >
> > > Dann lässt sich f wie folgt darstellen:
> > >
> > > [mm]f(x)=(x-x_0)(x^2+px+q)[/mm] mit p,q [mm]\in \IR.[/mm]
> > >
> >
> > Wieso gilt p,q [mm]\in \mathbb{R}[/mm] and nicht in [mm]\mathbb{Q}[/mm] wenn
> > [mm]f(x)\in \mathbb{Q}[x]?[/mm]
> >
> >
[mm] f(x)\in \mathbb{Q}[x] [/mm] bedeutet dass die Koeffizienten vom Polynom in [mm] \mathbb{Q} [/mm] sind, oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:34 Do 23.10.2014 | | Autor: | Fulla |
Hallo mariem!
> > > > Sei [mm]x_0 \in[/mm] (0,2) die reelle Nullstelle von f, also
> > > > [mm]f(x_0)=0.[/mm]
> > > >
> > > > Dann lässt sich f wie folgt darstellen:
> > > >
> > > > [mm]f(x)=(x-x_0)(x^2+px+q)[/mm] mit p,q [mm]\in \IR.[/mm]
> > > >
> > >
> > > Wieso gilt p,q [mm]\in \mathbb{R}[/mm] and nicht in [mm]\mathbb{Q}[/mm] wenn
> > > [mm]f(x)\in \mathbb{Q}[x]?[/mm]
> > >
> > >
>
> [mm]f(x)\in \mathbb{Q}[x][/mm] bedeutet dass die Koeffizienten vom
> Polynom in [mm]\mathbb{Q}[/mm] sind, oder nicht?
Ja, das ist richtig, aber das bedeutet nicht, dass f nur rationale Nullstellen hat.
Beispiel: [mm]f(x)=x^2-2[/mm]
Die Koeffizientnen (1 und -2) sind rational, aber die Nullstellen ([mm]\pm \sqrt 2[/mm]) sind irrational.
Es ist z.B. [mm]x^2-2=(x+\sqrt 2)(x-\sqrt 2)[/mm]
Lieben Gruß,
Fulla
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:57 Mi 22.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> > Hallo!!!
> >
> > [mm]f(x)=x^3+6x-14 \in \mathbb{Q}[/mm]
> >
> > Ich soll zeigen dass das Polynom f(x) genau eine positive
> > reele Wurzel, a [mm]\in \mathbb{R},[/mm] a>0, und zwei komplexe
> > Wurzeln b, [mm]\overline{b} \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}[/mm]
> > hat.
> >
> > Ih habe folgendes versucht:
> >
> > [mm]f'(x)=3x^2+6>0[/mm]
> >
> > Also hat f(x) maximum eine reele Wurzel.
>
> Du meinst sicher, dass f höchstens eine reelle Nullstelle
> hat.
>
> Ich würde das noch ein wenig ausführlicher begründen: es
> ist f'>0 auf [mm]\IR,[/mm] somit ist f auf [mm]\IR[/mm] streng monoton
> wachsend.
ich würde es sogar noch genauer formulieren: Wegen
[mm] $\lim_{x \to -\infty}f(x)=-\infty$
[/mm]
muss [mm] $f\,$ [/mm] wenigstens einen negativen Wert annehmen. Nun habt ihr begründet,
dass [mm] $f\,$ [/mm] streng wachsend auf [mm] $\IR$ [/mm] ist. Weil [mm] $f\,$ [/mm] aber als Polynomfunktion
stetig ist...
Gruß,
Marcel
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