Wurzel ziehen... < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:37 Di 27.11.2012 | | Autor: | Hanz |
Hallo, ich habe gerade irgendwie ein Verständnisproblem und zwar wenn ich die Gleichung [mm] x^2=4 [/mm] habe, dann bekomme ich doch als Lösungen x=2 und x=-2.
Warum ist aber [mm] \sqrt{4}=2, [/mm] aber nicht [mm] \sqrt{4}=-2?? [/mm] Es gilt doch [mm] (-2)\cdot [/mm] (-2)=4.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Hanz,
> Hallo, ich habe gerade irgendwie ein Verständnisproblem
> und zwar wenn ich die Gleichung [mm]x^2=4[/mm] habe, dann bekomme
> ich doch als Lösungen x=2 und x=-2.
>
> Warum ist aber [mm]\sqrt{4}=2,[/mm] aber nicht [mm]\sqrt{4}=-2??[/mm] Es gilt
> doch [mm](-2)\cdot[/mm] (-2)=4.
>
Per Definition ist die Wurzel aus einer positiven reellen Zahl
wiederum eine positive reelle Zahl.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Di 27.11.2012 | | Autor: | Hanz |
> Per Definition ist die Wurzel aus einer positiven reellen
> Zahl
> wiederum eine positive reelle Zahl.
Kann ich das nur über die Definition begründen oder gibts auch ein Beispiel, warum [mm] \sqrt{4}=-2 [/mm] keinen sinn ergeben würde?
Wenn ich mich jetzt in den komplexen Zahlen befinden und [mm] \sqrt[6]{-64} [/mm] habe, kann ich das schreiben als [mm] \sqrt[6]{-64}=\sqrt[6]{64}\cdot \sqrt[6]{-1}=2\cdot [/mm] $i$ ??
|
|
|
| |
|
Hallo,
> > Per Definition ist die Wurzel aus einer positiven reellen
> > Zahl
> > wiederum eine positive reelle Zahl.
>
>
> Kann ich das nur über die Definition begründen oder gibts
> auch ein Beispiel, warum [mm]\sqrt{4}=-2[/mm] keinen sinn ergeben
> würde?
Eine Definition ist eine Definition ist eine Definition. 
Es hat u.a. damit zu tun, dass die Wurzel eine Funktion sein soll, die bekanntlich eindeutig definiert sein muss. Das, was du meinst, sind die Lösungen der Gleichung
[mm] x^2=c [/mm] ; c>0
Diese lauten (und das folgt aus dieser Definition):
[mm] x_{1,2}=\pm\wurzel{c}
[/mm]
>
> Wenn ich mich jetzt in den komplexen Zahlen befinden und
> [mm]\sqrt[6]{-64}[/mm] habe, kann ich das schreiben als
> [mm]\sqrt[6]{-64}=\sqrt[6]{64}\cdot \sqrt[6]{-1}=2\cdot[/mm] [mm]i[/mm] ??
Nein, das ist so nicht ausreichend. In [mm] \IC [/mm] ist die Sache komplizierter. Hier gibt es zu jeder Zahl ungleich Null sechs 6. Wurzeln.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Di 27.11.2012 | | Autor: | Hanz |
> Nein, das ist so nicht ausreichend. In [mm]\IC[/mm] ist die Sache
> komplizierter. Hier gibt es zu jeder Zahl ungleich Null
> sechs 6. Wurzeln.
Eine Frage dann noch:
Warum kann ich dann schreiben: [mm] \sqrt{-5}=\sqrt{5}\cdot [/mm] $i$ ?
|
|
|
| |
|
Hallo
[mm] \wurzel{-5}=\wurzel{-1*5}=\wurzel{-1}*\wurzel{5}=i\wurzel{5}
[/mm]
Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:25 Mi 28.11.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Guten Morgen,
dazu noch der allgemeine Hinweis, dass die Potenzgesetze im Komplexen allgemein nicht gelten.
Bsp:
[mm] 1=\sqrt{1}=\sqrt{(-1)(-1)}\stackrel{falsch}=\sqrt{-1}\sqrt{-1}=i^2=-1
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:32 Mi 28.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Guten Morgen,
>
> dazu noch der allgemeine Hinweis, dass die Potenzgesetze im
> Komplexen allgemein nicht gelten.
>
> Bsp:
>
> [mm]1=\sqrt{1}=\sqrt{(-1)(-1)}\stackrel{falsch}=\sqrt{-1}\sqrt{-1}=i^2=-1[/mm]
Hallo Richie,
die Potenzgesetze gelten in [mm] \IC [/mm] durchaus. Nur ist z.B. auch [mm] \wurzel{-1}=-i
[/mm]
Damit:
[mm]1=\sqrt{1}=\sqrt{(-1)(-1)}=\sqrt{-1}\sqrt{-1}=-i*i=1[/mm]
FRED
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:03 Mi 28.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Nein, das ist so nicht ausreichend. In [mm]\IC[/mm] ist die Sache
> > komplizierter. Hier gibt es zu jeder Zahl ungleich Null
> > sechs 6. Wurzeln.
>
>
> Eine Frage dann noch:
>
> Warum kann ich dann schreiben: [mm]\sqrt{-5}=\sqrt{5}\cdot[/mm] [mm]i[/mm]
U.a. wurden doch dafür die komplexen Zahlen "erfunden", insbes. die Zahl i.
[mm] i^2=-1
[/mm]
Damit ist [mm] $(\sqrt{5}*i)^2=5*(-1)=-\sqrt{5}$
[/mm]
Edit: natürlich so: [mm] $(\sqrt{5}*i)^2=5*(-1)=-5$
[/mm]
FRED
> ?
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 08:43 Mi 28.11.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo FRED,
am Ende sollte es -5 heißen.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:56 Mi 28.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> > Nein, das ist so nicht ausreichend. In [mm]\IC[/mm] ist die Sache
> > komplizierter. Hier gibt es zu jeder Zahl ungleich Null
> > sechs 6. Wurzeln.
>
>
> Eine Frage dann noch:
>
> Warum kann ich dann schreiben: [mm]\sqrt{-5}=\sqrt{5}\cdot[/mm] [mm]i[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Hanz,
Das Symbol $\sqrt z$ hat unterschiedliche Bedeutung: Für $z\in [0; +\infty)}$ ist $\sqrt z$ die eindeutig bestimmte nichtnegative Zahl, deren Quadrat $z$ ist.
Für beliebig komplexes $z$ ist $\sqrt z$ eine Lösung der Gleichung $u^2 = z$. Da es für $z\ne 0$ zwei solcher Lösungen gibt, ist $\sqrt z$ also nicht bestimmt.
Ich halte diese zweite Bedeutung für ebenso verwirrend wie fehlterträchtig und verzichte daher darauf.
Grüße,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:02 Mi 28.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> > > Nein, das ist so nicht ausreichend. In [mm]\IC[/mm] ist die Sache
> > > komplizierter. Hier gibt es zu jeder Zahl ungleich Null
> > > sechs 6. Wurzeln.
> >
> >
> > Eine Frage dann noch:
> >
> > Warum kann ich dann schreiben: [mm]\sqrt{-5}=\sqrt{5}\cdot[/mm] [mm]i[/mm]
>
> Hallo Hanz,
>
> Das Symbol [mm]\sqrt z[/mm] hat unterschiedliche Bedeutung: Für
> [mm]z\in [0; +\infty)}[/mm] ist [mm]\sqrt z[/mm] die eindeutig bestimmte
> nichtnegative Zahl, deren Quadrat [mm]z[/mm] ist.
>
> Für beliebig komplexes [mm]z[/mm] ist [mm]\sqrt z[/mm] eine Lösung der
> Gleichung [mm]u^2 = z[/mm]. Da es für [mm]z\ne 0[/mm] zwei solcher Lösungen
> gibt, ist [mm]\sqrt z[/mm] also nicht bestimmt.
>
> Ich halte diese zweite Bedeutung für ebenso verwirrend wie
> fehlterträchtig und verzichte daher darauf.
Hallo Wolfgang,
dann mußt Du aber auf ganz [mm] \IC [/mm] verzichten !
Gruß FRED
>
> Grüße,
> Wolfgang
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:19 Mi 28.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> > > > Nein, das ist so nicht ausreichend. In [mm]\IC[/mm] ist die Sache
> > > > komplizierter. Hier gibt es zu jeder Zahl ungleich Null
> > > > sechs 6. Wurzeln.
> > >
> > >
> > > Eine Frage dann noch:
> > >
> > > Warum kann ich dann schreiben: [mm]\sqrt{-5}=\sqrt{5}\cdot[/mm] [mm]i[/mm]
> >
> > Hallo Hanz,
> >
> > Das Symbol [mm]\sqrt z[/mm] hat unterschiedliche Bedeutung: Für
> > [mm]z\in [0; +\infty)}[/mm] ist [mm]\sqrt z[/mm] die eindeutig bestimmte
> > nichtnegative Zahl, deren Quadrat [mm]z[/mm] ist.
> >
> > Für beliebig komplexes [mm]z[/mm] ist [mm]\sqrt z[/mm] eine Lösung der
> > Gleichung [mm]u^2 = z[/mm]. Da es für [mm]z\ne 0[/mm] zwei solcher Lösungen
> > gibt, ist [mm]\sqrt z[/mm] also nicht bestimmt.
> >
> > Ich halte diese zweite Bedeutung für ebenso verwirrend wie
> > fehlterträchtig und verzichte daher darauf.
>
> Hallo Wolfgang,
>
> dann mußt Du aber auf ganz [mm]\IC[/mm] verzichten !
Hallo FRED,
Das muß ich nicht! Ich kann über komplexe Zahlen und Lösungen quadratischer Gleichungen auch ohne den Mißbrauch des Wuzelsymbols argumentieren. Ich verzichte nicht auf die Erkenntnis, daß es eine Lösung von [mm] $u^2=-1$ [/mm] gibt, sondern nur darauf, beide Lösungen mit ein und demselben Symbol zu bezeichnen.
Gruß,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:38 Mi 28.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> > > > > Nein, das ist so nicht ausreichend. In [mm]\IC[/mm] ist die Sache
> > > > > komplizierter. Hier gibt es zu jeder Zahl ungleich Null
> > > > > sechs 6. Wurzeln.
> > > >
> > > >
> > > > Eine Frage dann noch:
> > > >
> > > > Warum kann ich dann schreiben: [mm]\sqrt{-5}=\sqrt{5}\cdot[/mm] [mm]i[/mm]
> > >
> > > Hallo Hanz,
> > >
> > > Das Symbol [mm]\sqrt z[/mm] hat unterschiedliche Bedeutung: Für
> > > [mm]z\in [0; +\infty)}[/mm] ist [mm]\sqrt z[/mm] die eindeutig bestimmte
> > > nichtnegative Zahl, deren Quadrat [mm]z[/mm] ist.
> > >
> > > Für beliebig komplexes [mm]z[/mm] ist [mm]\sqrt z[/mm] eine Lösung der
> > > Gleichung [mm]u^2 = z[/mm]. Da es für [mm]z\ne 0[/mm] zwei solcher Lösungen
> > > gibt, ist [mm]\sqrt z[/mm] also nicht bestimmt.
> > >
> > > Ich halte diese zweite Bedeutung für ebenso verwirrend wie
> > > fehlterträchtig und verzichte daher darauf.
> >
> > Hallo Wolfgang,
> >
> > dann mußt Du aber auf ganz [mm]\IC[/mm] verzichten !
>
> Hallo FRED,
>
> Das muß ich nicht! Ich kann über komplexe Zahlen und
> Lösungen quadratischer Gleichungen auch ohne den
> Mißbrauch des Wuzelsymbols argumentieren. Ich verzichte
> nicht auf die Erkenntnis, daß es eine Lösung von [mm]u^2=-1[/mm]
> gibt, sondern nur darauf, beide Lösungen mit ein und
> demselben Symbol zu bezeichnen.
Hallo Wolfgang,
möglicherweise trete ich jetzt eine Diskussion los.
Du kannst natürlich verzichten.
Sei n [mm] \in \IN [/mm] und z eine komplexe Zahl [mm] \ne [/mm] 0. Wenn man einmal verinnerlicht hat, dass die Gleichung [mm] w^n=z [/mm] n verschieden Lösungen hat, so sehe ich in der Symbolik keinerlei Gefahr.
Noch schlimmer wirds, wenn man nach Logarithmen von z fragt. Da gibts abzählbar unendlich viele.
Noch etwas: ist [mm] (a_n) [/mm] eine Folge und [mm] s_n:=a_1+a_2+...+a_n [/mm] ( n [mm] \in \IN), [/mm] so bez. man die Folge [mm] (s_n) [/mm] mit dem Symbol [mm] \summe_{j=1}^{\infty}a_j.
[/mm]
Ist [mm] (s_n) [/mm] konvergent, so wird der Limes von [mm] (s_n) [/mm] ebenfalls mit [mm] \summe_{j=1}^{\infty}a_j [/mm] bezeichnet.
Auch das ist für Anfänger verwirrend. Man mag es bedauern, aber ändern kann man es nicht.
Gruß FRED
>
> Gruß,
> Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:57 Mi 28.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> > > > > > Nein, das ist so nicht ausreichend. In [mm]\IC[/mm] ist die Sache
> > > > > > komplizierter. Hier gibt es zu jeder Zahl ungleich Null
> > > > > > sechs 6. Wurzeln.
> > > > >
> > > > >
> > > > > Eine Frage dann noch:
> > > > >
> > > > > Warum kann ich dann schreiben: [mm]\sqrt{-5}=\sqrt{5}\cdot[/mm] [mm]i[/mm]
> > > >
> > > > Hallo Hanz,
> > > >
> > > > Das Symbol [mm]\sqrt z[/mm] hat unterschiedliche Bedeutung: Für
> > > > [mm]z\in [0; +\infty)}[/mm] ist [mm]\sqrt z[/mm] die eindeutig bestimmte
> > > > nichtnegative Zahl, deren Quadrat [mm]z[/mm] ist.
> > > >
> > > > Für beliebig komplexes [mm]z[/mm] ist [mm]\sqrt z[/mm] eine Lösung der
> > > > Gleichung [mm]u^2 = z[/mm]. Da es für [mm]z\ne 0[/mm] zwei solcher Lösungen
> > > > gibt, ist [mm]\sqrt z[/mm] also nicht bestimmt.
> > > >
> > > > Ich halte diese zweite Bedeutung für ebenso verwirrend wie
> > > > fehlterträchtig und verzichte daher darauf.
> > >
> > > Hallo Wolfgang,
> > >
> > > dann mußt Du aber auf ganz [mm]\IC[/mm] verzichten !
> >
> > Hallo FRED,
> >
> > Das muß ich nicht! Ich kann über komplexe Zahlen und
> > Lösungen quadratischer Gleichungen auch ohne den
> > Mißbrauch des Wuzelsymbols argumentieren. Ich verzichte
> > nicht auf die Erkenntnis, daß es eine Lösung von [mm]u^2=-1[/mm]
> > gibt, sondern nur darauf, beide Lösungen mit ein und
> > demselben Symbol zu bezeichnen.
>
> Hallo Wolfgang,
>
> möglicherweise trete ich jetzt eine Diskussion los.
>
> Du kannst natürlich verzichten.
>
> Sei n [mm]\in \IN[/mm] und z eine komplexe Zahl [mm]\ne[/mm] 0. Wenn man
> einmal verinnerlicht hat, dass die Gleichung [mm]w^n=z[/mm] n
> verschieden Lösungen hat, so sehe ich in der Symbolik
> keinerlei Gefahr.
>
> Noch schlimmer wirds, wenn man nach Logarithmen von z
> fragt. Da gibts abzählbar unendlich viele.
>
> Noch etwas: ist [mm](a_n)[/mm] eine Folge und [mm]s_n:=a_1+a_2+...+a_n[/mm] (
> n [mm]\in \IN),[/mm] so bez. man die Folge [mm](s_n)[/mm] mit dem Symbol
> [mm]\summe_{j=1}^{\infty}a_j.[/mm]
>
> Ist [mm](s_n)[/mm] konvergent, so wird der Limes von [mm](s_n)[/mm] ebenfalls
> mit [mm]\summe_{j=1}^{\infty}a_j[/mm] bezeichnet.
>
> Auch das ist für Anfänger verwirrend. Man mag es
> bedauern, aber ändern kann man es nicht.
>
> Gruß FRED
Hallo FRED,
Die Doppelbedeutung des Symbols [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k$ [/mm] ist zwar unschön, aber damit kann jeder umgehen, solange er aus dem Zusammenhang erkennt, welche Bedeutung gemeint ist. Im Satz "Die Reihe [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k$ [/mm] konvergiert" kann nur die Folge der Partialsummen gemeint sein, in der Formel [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k [/mm] = s$ nur der Grenzwert. Ebensowenig störe ich mich an Formeln wie [mm] $(f+g)(x)=f(x)+g(x)\,,$ [/mm] obwohl das + einmal die Addition von Funktionen und das andere mal die von Funktionswerten bedeutet. Aus dem Zusammenhang wird klar, was gemeint ist.
Bei [mm] $\sqrt{-1} [/mm] = i$ sieht es anders aus, weil beide Bedeutungen von [mm] $\sqrt{-1}$ [/mm] Zahlen sind, und der Zusammenhang nicht erkennen läßt, welche denn nun gemeint ist.
Akzeptiere ich die Gleichung, so muß ich auf Euklids erstes Axiom verzichten, nämlich: Was demselben gleich ist, ist auch einander gleich. Oder in Formeln:
Aus $a=b$ und $b=c$ folgt $a=c$.
Es ist die Verletzung dieses Axioms, die das Rechnen mit komplexen Zahlen verdunkelt. Denn wenn ich [mm] $\sqrt{-1}=i$ [/mm] schreiben darf, weil [mm] $i^2=-1$ [/mm] ist, darf ich mit derselben Begründung auch [mm] $\sqrt{-1}=-i$ [/mm] schreiben, aber ich darf nicht aus [mm] $i=\sqrt{-1}=-i$ [/mm] auf $i=-i$ schließen.
Ebenso dürfte ich [mm] $\sqrt{x^2}=x$ [/mm] schreiben, wäre ich bereit, auf das Axiom zu verzichten. Aber da wird - zu Recht - jeder hier sagen: Autsch! [mm] $\sqrt{x^2}=|x|!$
[/mm]
Übrigens, im Gegensatz zu Dir und Euler glaube ich nicht, daß die Potenzregeln auch in [mm] $\IC$ [/mm] uneingeschränkt gelten. So kommt Euler auf
[mm] $\sqrt{-1}*\sqrt{-4}=\sqrt [/mm] 4 = [mm] 2\,,$
[/mm]
weil ja [mm] $\sqrt [/mm] a * [mm] \sqrt [/mm] b = [mm] \sqrt [/mm] {ab}$ ist.
Vor nun schon längerer Zeit stolperte ich in diesem Forum über die Aufgabe [mm] $\int_\gamma \sqrt [/mm] z dz$ zu berechnen. Natürlich stand ich mit meiner Meinung, daß durch [mm] $z\mapsto \sqrt [/mm] z$ keine Funktion definiert wird, ziemlich alleine da.
Grüße,
Wolfgang
|
|
|
|
