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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:04 Di 10.01.2012 | | Autor: | yangwar1 |
| Aufgabe | | Untersuchen sie die Folge [mm] (a_n) [/mm] auf Konvergenz, wobei [mm] (a_n):=\wurzel{n}-\wurzel{n+2} [/mm] |
Die Wurzelfunktion ist ja die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Die Wurzelfunktion ist auch stetig und streng monoton steigend.
Die Folge [mm] \wurzel{n} [/mm] wächst langsamer als die Funktion [mm] \wurzel{n+2}. [/mm] Daher konvergieren die Folgen bei Subtraktion wohl gegen 0.
Nur wie beweist man das? Bitte nur einen kleinen tipp geben
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Hallo yangwar1,
> Untersuchen sie die Folge [mm](a_n)[/mm] auf Konvergenz, wobei
> [mm](a_n):=\wurzel{n}-\wurzel{n+2}[/mm]
> Die Wurzelfunktion ist ja die Umkehrfunktion der
> Exponentialfunktion. Die Wurzelfunktion ist auch stetig und
> streng monoton steigend.
> Die Folge [mm]\wurzel{n}[/mm] wächst langsamer als die Funktion
> [mm]\wurzel{n+2}.[/mm] Daher konvergieren die Folgen bei Subtraktion
> wohl gegen 0.
>
> Nur wie beweist man das? Bitte nur einen kleinen tipp geben
Verwende hier die 3. Binomische Formel.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Di 10.01.2012 | | Autor: | yangwar1 |
ok. ich benötige doch eine genauere Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:06 Di 10.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
erweitere mit [mm] \wurzel{n}+\wurzel{n+2} [/mm] dann die 3.bin verwenden. das ist ein üblicher Trick bei differenzen von Wurzeln, den du dir merken solltest.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 Mi 11.01.2012 | | Autor: | yangwar1 |
Dann erhält man vermutlich:
[mm] -\bruch{1}{\wurzel{n}-\wurzel{n+2}}-\bruch{1}{\wurzel{n}-\wurzel{n+2}}=-\bruch{2}{\wurzel{n}-\wurzel{n+2}}
[/mm]
Hieraus ist aber meiner Meinung immer noch nciht ersichtlich, dass es eine Nullfolge ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:08 Mi 11.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Dann erhält man vermutlich:
>
> [mm]-\bruch{1}{\wurzel{n}-\wurzel{n+2}}-\bruch{1}{\wurzel{n}-\wurzel{n+2}}=-\bruch{2}{\wurzel{n}-\wurzel{n+2}}[/mm]
????
[mm] \wurzel{n}-\wurzel{n+2}=\bruch{(\wurzel{n}-\wurzel{n+2})*(\wurzel{n}+\wurzel{n+2})}{\wurzel{n}+\wurzel{n+2}}=\bruch{-2}{\wurzel{n}+\wurzel{n+2}}
[/mm]
Jetzt klar ?
FRED
>
> Hieraus ist aber meiner Meinung immer noch nciht
> ersichtlich, dass es eine Nullfolge ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 Mi 11.01.2012 | | Autor: | yangwar1 |
Glaube noch nicht.
Man kann doch weiter schreiben:
$ [mm] -\bruch{2}{\wurzel{n}+\wurzel{n+2}}=-\bruch{1}{\wurzel{n}+\wurzel{n+2}}-\bruch{1}{\wurzel{n}+\wurzel{n+2}}$
[/mm]
Die Nullfolge muss ich doch noch nachweisen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}-\bruch{2}{\wurzel{n}+\wurzel{n+2}}=-\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}2}{\limes_{n\rightarrow\infty}(\wurzel{n}+\wurzel{n+2})}=-\bruch{2}{\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{n}+\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{n+2})}
[/mm]
Im Nenner gehen beide Wurzelfunktionen gegen unendlich. Die eine schneller als die andere. Aber daraus kann man doch nohc nichts ableiten.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:28 Mi 11.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Glaube noch nicht.
>
> Man kann doch weiter schreiben:
>
> [mm]-\bruch{2}{\wurzel{n}+\wurzel{n+2}}=-\bruch{1}{\wurzel{n}+\wurzel{n+2}}-\bruch{1}{\wurzel{n}+\wurzel{n+2}}[/mm]
>
> Die Nullfolge muss ich doch noch nachweisen:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}-\bruch{2}{\wurzel{n}+\wurzel{n+2}}=-\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}2}{\limes_{n\rightarrow\infty}(\wurzel{n}+\wurzel{n+2})}=-\bruch{2}{\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{n}+\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{n+2})}[/mm]
So darfst Du nur schreiben, wenn alle Grenzwerte vorhanden sind.
>
> Im Nenner gehen beide Wurzelfunktionen gegen unendlich. Die
> eine schneller als die andere. Aber daraus kann man doch
> nohc nichts ableiten.
>
Vielleicht hilft das:
[mm] $|-\bruch{2}{\wurzel{n}+\wurzel{n+2}}| \le \bruch{2}{\wurzel{n}}
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Mi 11.01.2012 | | Autor: | yangwar1 |
Es gilt: $ [mm] $|-\bruch{2}{\wurzel{n}+\wurzel{n+2}}| \le \bruch{2}{\wurzel{n}}\le [/mm] 2 $
Eine Folge [mm] a_n [/mm] ist beschränkt, falls [mm] |a_n|\lec [/mm] gilt. Dies ist hier der Fall, also ist [mm] a_n [/mm] beschränkt.
[mm] a_{n+1}:=$ -\bruch{2}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n+3}} [/mm] $ Es gilt: [mm] a_n\gea_{n+1}. [/mm] Damit ist [mm] a_n [/mm] monoton fallend. Eine monoton fallende Folge, die zudem noch beschränkt ist, konvergiert.
Eine Nullfolge habe ich damit nicht nachgewiesen, das war aber auch nciht verlangt. Stimmt meine Bearbeitung?
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Hallo yangwar!
> Es gilt: $ [mm]$|-\bruch{2}{\wurzel{n}+\wurzel{n+2}}| \le \bruch{2}{\wurzel{n}}\le[/mm] 2 $
Warum so grob abgeschätzt? Was weißt Du denn über die Folge [mm] $\bruch{2}{\wurzel{n}}$ [/mm] ?
Was lässt sich dann für die Ausgangsfolge daraus folgern?
> Eine Folge [mm]a_n[/mm] ist beschränkt, falls [mm]|a_n|\lec[/mm] gilt. Dies
> ist hier der Fall, also ist [mm]a_n[/mm] beschränkt.
> [mm]a_{n+1}:=[/mm] [mm]-\bruch{2}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n+3}}[/mm] Es gilt:
> [mm]a_n\ge a_{n+1}.[/mm] Damit ist [mm]a_n[/mm] monoton fallend.
Das hast Du aber nicht eindeutig gezeigt. Und ob es überhaupt stimmt, lasse ich mal im Raum stehen.
> Eine monoton fallende Folge, die zudem noch beschränkt ist,
> konvergiert.
Dafür musst Du aber eine untere Schranke nachweisen!
> Eine Nullfolge habe ich damit nicht nachgewiesen, das war
> aber auch nciht verlangt.
Siehe oben meine Frage zu [mm] $\bruch{2}{\wurzel{n}}$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Mi 11.01.2012 | | Autor: | yangwar1 |
Na ja, die Folge [mm] |a_n| [/mm] ist doch beschränkt, da [mm] |a_n|<2 [/mm] ist. Das ist doch die Definition einer beschränkten Folge bzw. eine Folgerung davon.
Die Beschränktheit müsste also stimmen?
Kann man folgendes annehmen?
[mm] \wurzel{n}+\wurzel{n+2}\le \wurzel{n+1}+\wurzel{n+3}
[/mm]
Damit könnte man doch dann auf die Monotonie schließen?
$ [mm] \bruch{2}{\wurzel{n}} [/mm] = $ [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] +$ [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] $
Wenn ich wüsste, dass $ [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] $ eine Nullfolge ist, dann wären beides Nullfolgen. Da alle folgenglieder von [mm] a_n [/mm] unter der Nullfolge liegen, muss [mm] a_n [/mm] unterhalb der Nullfolge liegen. Heißt ja aber noch nciht, dass es eine Nullfolge ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:00 Mi 11.01.2012 | | Autor: | fred97 |
Sind [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] Folgen mit [mm] |a_n| \le b_n [/mm] für alle n und ist [mm] (b_n) [/mm] eine Nullfolge, so ist [mm] (a_n) [/mm] eine Nullfolge
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 Mi 11.01.2012 | | Autor: | leduart |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo
überleg mal, wie du eine Nullfolge erkennst? ist a_N=1/n z.B eine Nullfolge?
also schreib die Def von Nullfolge hin und zeig dass a/wurzel{n} eine ist (a feste Zahl}
Gruss leduart
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Ok. Und mein ursprünglicher Ansatz war falsch bzw. ist nicht zielführend?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Fr 13.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Untersuchen sie die Folge [mm](a_n)[/mm] auf Konvergenz, wobei
> [mm](a_n):=\wurzel{n}-\wurzel{n+2}[/mm]
> Die Wurzelfunktion ist ja die Umkehrfunktion der
> Exponentialfunktion. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Waaaas ?
Du meinst die Quadratfunktion.
Unter "Exponentialfunktion" versteht man etwas ganz
anderes !
LG
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