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Forum "Mathe Klassen 8-10" - Wurzelgleichungen
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Wurzelgleichungen: Wurzelgleichung und Vorzeichen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:29 So 06.10.2013
Autor: blubmub123

Aufgabe
Lösen Sie die folgende Wurzelgleichung:
[mm] \wurzel{2x^2-1} [/mm] + x

Ich hab ein paar Probleme mit dem Minus-Zeichen als Vorzeichen und als Operator-Zeichen.. Nach meiner Rechnung kommt als Ergebnis +- 1 raus, was aber nicht stimmt (wie man sehen kann). Wie genau berechnet man die Lösung (ohne zwangsläufig überprüfen zu müssen ob die negative oder positive Lösung korrekt ist) ?

Mein Rechenweg war wie folgt:
[mm] \wurzel{2x^2-1} [/mm] + x = 0
<=> [mm] \wurzel{2x^2-1} [/mm] = -x
<=> [mm] 2x^2-1 [/mm] = [mm] x^2 [/mm]
<=> [mm] x^2-1 [/mm] = 0
<=> [mm] x^2 [/mm] = 1
<=> x = +-1

Die korrekte Lösung ist aber nur -1.. Wir wäre ich ohne später die Ergebnisse erneut testen zu müssen auf das Ergebnis gekommen?
Und gibt es eine spezielle Regel, wann das Minus-zeichen als Operator und wann als Vorzeichen behandelt wird? In diesem Fall ist (glaube ich zumind.) im zwiten Schritt ja [mm] (-x)^2 [/mm] = [mm] x^2 [/mm]
Es gibt aber ja auch viele Fälle in denen [mm] -x^2 [/mm] als [mm] -(x^2) [/mm] aufgefasst wird, wie genau kann ich eindeutig diese Fälle unterscheiden?

Danke schonmal im Voraus :)

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Wurzelgleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:43 So 06.10.2013
Autor: M.Rex

Hallo und [willkommenmr]

> Lösen Sie die folgende Wurzelgleichung:
> [mm]\wurzel{2x^2-1}[/mm] + x
> Ich hab ein paar Probleme mit dem Minus-Zeichen als
> Vorzeichen und als Operator-Zeichen.. Nach meiner Rechnung
> kommt als Ergebnis +- 1 raus, was aber nicht stimmt (wie
> man sehen kann). Wie genau berechnet man die Lösung (ohne
> zwangsläufig überprüfen zu müssen ob die negative oder
> positive Lösung korrekt ist) ?

>

> Mein Rechenweg war wie folgt:
> [mm]\wurzel{2x^2-1}[/mm] + x = 0
> <=> [mm]\wurzel{2x^2-1}[/mm] = -x
> <=> [mm]2x^2-1[/mm] = [mm]x^2[/mm]
> <=> [mm]x^2-1[/mm] = 0
> <=> [mm]x^2[/mm] = 1
> <=> x = +-1

Das ist auch korrekt.
>

> Die korrekte Lösung ist aber nur -1.. Wir wäre ich ohne
> später die Ergebnisse erneut testen zu müssen auf das
> Ergebnis gekommen?

Gar nicht. Bei Wurzelgleichungen musst du zwangsläufig die Probe machen, da das Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist. Beim Quadrieren können Lösungen hinzugemogelt werden, die die Startgleichung nicht erfüllen.

> Und gibt es eine spezielle Regel, wann das Minus-zeichen
> als Operator und wann als Vorzeichen behandelt wird? In
> diesem Fall ist (glaube ich zumind.) im zwiten Schritt ja
> [mm](-x)^2[/mm] = [mm]x^2[/mm]

Das ist korrekt
[mm] $(-x)^{2}=(-1)^{2}\cdot x^{2}=1\cdot [/mm] x=x$

> Es gibt aber ja auch viele Fälle in denen [mm]-x^2[/mm] als [mm]-(x^2)[/mm]
> aufgefasst wird, wie genau kann ich eindeutig diese Fälle
> unterscheiden?

Mit der Klammer:

[mm] $-x^{2}=(-1)\cdot x^{2}$ [/mm]

Marius

Bezug
        
Bezug
Wurzelgleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:19 So 06.10.2013
Autor: Richie1401

Hallo,

> Lösen Sie die folgende Wurzelgleichung:
>   [mm]\wurzel{2x^2-1}[/mm] + x
>  Ich hab ein paar Probleme mit dem Minus-Zeichen als
> Vorzeichen und als Operator-Zeichen.. Nach meiner Rechnung
> kommt als Ergebnis +- 1 raus, was aber nicht stimmt (wie
> man sehen kann). Wie genau berechnet man die Lösung (ohne
> zwangsläufig überprüfen zu müssen ob die negative oder
> positive Lösung korrekt ist) ?

Manchmal löst sich das Problem auch durch einfaches draufschauen.
Angenommen die positive Lösung sei richtig:
[mm] \underbrace{\wurzel{2x^2-1}}_{>0}+\underbrace{x}_{>0}>0 [/mm]

Also hier kommt man eindeutig nicht auf die Gleichheit. Also sollte die Lösung durchaus negativ sein.

Mit der Probe kommt man aber schneller und einfacher zum Ziel.

>  
> Mein Rechenweg war wie folgt:
>   [mm]\wurzel{2x^2-1}[/mm] + x = 0
>  <=> [mm]\wurzel{2x^2-1}[/mm] = -x

>  <=> [mm]2x^2-1[/mm] = [mm]x^2[/mm]

>  <=> [mm]x^2-1[/mm] = 0

>  <=> [mm]x^2[/mm] = 1

>  <=> x = +-1

>  
> Die korrekte Lösung ist aber nur -1.. Wir wäre ich ohne
> später die Ergebnisse erneut testen zu müssen auf das
> Ergebnis gekommen?
>  Und gibt es eine spezielle Regel, wann das Minus-zeichen
> als Operator und wann als Vorzeichen behandelt wird? In
> diesem Fall ist (glaube ich zumind.) im zwiten Schritt ja
> [mm](-x)^2[/mm] = [mm]x^2[/mm]
>  Es gibt aber ja auch viele Fälle in denen [mm]-x^2[/mm] als [mm]-(x^2)[/mm]
> aufgefasst wird, wie genau kann ich eindeutig diese Fälle
> unterscheiden?
>  
> Danke schonmal im Voraus :)
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


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