Wurzelkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
habe ich es richtig "erkannt", dass man bei der Reihe [mm] a_n [/mm] =
[mm] \summe_{n=2}^{\infty}(\bruch{n-1}{n})^n
[/mm]
das Wurzelkriterium anwenden kann
und so auf [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{|a_n|} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{n-1}{n})<1 [/mm] kommt?
Und somit absolute Konvergenz!?
Danke,
Anna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:58 Di 06.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Nein !
schau Dir das Wurzelkrit. nochmal an ! (< 1 reicht i.a. nicht)
Übrigens: die Glieder Deiner Reihe bilden keine Nullfolge (sondern streben gegen ??), also ist die reihe divergent !
Gruß Fred
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Hallo Fred,
vielen Dank für Deine Antwort.
Stimmt, ich hatte das zuerst im Kopf mit der Nullfolge. Frag mich nicht warum ich
mich dann doch auf das Wurzelkriterium "eingelassen" habe.
Also damit eine Reihe konvergiert müssen die Glieder der Reihe eine
Nullfolge bilden, d.h. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{n-1}{n})^n [/mm] = 0
Aber hier ist [mm] (\bruch{n-1}{n})^n [/mm] = 1
Daher ist die Reihe divergent.
Habe ich das so richtig formuliert?
Danke,
Anna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:16 Di 06.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anna!
Die Argumentation ist richtig. Dein Grenzwert allerdings nicht:
[mm] $$\limes_{n\rightarrow\infty} \left(\bruch{n-1}{n}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left(1-\bruch{1}{n}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left(1+\bruch{\red{-1}}{n}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] e^{\red{-1}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{e} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 0.368 \ [mm] \not= [/mm] \ 0$$
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
ich war wegen dem Minus bei [mm] (1-\bruch{1}{n})^n [/mm] "irritiert".
Wie kommt man eigentlich "in ausführlichen Schritten" von
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \left(1+\bruch{-1}{n}\right)^n [/mm]
nach
[mm] \bruch{1}{e} [/mm]
Einfach, weil man weiß/wissen sollte, dass [mm] (1-\bruch{1}{n})^n [/mm] = [mm] e^{-1}
[/mm]
ist oder wie?
Danke,
Anna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:40 Di 06.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anna!
Es gilt:
[mm] $$\limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{\red{x}}{n}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] e^{\red{x}}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:48 Di 06.05.2008 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo Loddar,
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{\red{x}}{n}\right)^n \ = \ e^{\red{x}}[/mm]
Achso. Hm, weiß man das so oder sollte man das im Analysiskurs gezeigt bekommen?
Ich meine dass generell [mm] a^{-n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{a^n} [/mm] ist ist schon klar, aber jetzt konkret mit dem e.
Danke,
Anna
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Die Exponentialfunktion wird definiert durch
[mm] e^{x} [/mm] := [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{x^{n}}{n!}\right)
[/mm]
(Definition als Potenzreihe)
oder eben als
[mm] e^{x} [/mm] := [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{x}{n}\right)^{n}
[/mm]
(Definition als Grenzwert einer Folge).
D.h. du solltest wissen, dass sie so definiert wird  . Ich glaube, man kann aus der unteren Definition auch die obere folgern.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:08 Di 06.05.2008 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo steppenhahn,
ah OK. Komischerweise steht im Script bei uns nur
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left(1+\bruch{1}{n}\right)^{n} [/mm] = e
bzw.
[mm] \summe_{k=0}^{n}\left(\bruch{1}{k!}\right)
[/mm]
Danke,
Anna
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