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huhu,
mal ne Frage: Würde es als Beweis nicht ausreichen so zu argumentieren?
Sei [mm] \wurzel[n]{|a_{n}|} [/mm] < 1, dann gibt es ein q [mm] \in [/mm] (0,1) mit [mm] \wurzel[n]{|a_{n}|} \le [/mm] q .
Kann ich nicht jetzt einfach beide Seiten mit [mm] |^{n} [/mm] bearbeiten, sodass ich direkt auf [mm] |a_{n}| \le q^{n} [/mm] , dass ich direkt die Abschätzung mit der geometrischen Reihe als Majorante habe?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:20 Do 09.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> huhu,
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> mal ne Frage: Würde es als Beweis nicht ausreichen so zu
> argumentieren?
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> Sei [mm]\wurzel[n]{|a_{n}|}[/mm] < 1,
Für welche , "wieviele" n soll das gelten ?
> dann gibt es ein q [mm]\in[/mm] (0,1) mit [mm]\wurzel[n]{|a_{n}|} \le[/mm] q .
Für welche , "wieviele" n soll das gelten ?
Ich vermute, Du meinst, dass aus [mm]\wurzel[n]{|a_{n}|}[/mm] < 1 für (fast) alle n [mm] \in \IN [/mm] folgt, dass es ein q [mm]\in[/mm] (0,1) gibt mit [mm]\wurzel[n]{|a_{n}|} \le[/mm] q für (fast) alle n [mm] \in \IN [/mm] .
Das stimmt aber nicht, wie man an der Folge [mm] a_n=1/n [/mm] sehen kann
Es ist [mm]\wurzel[n]{|a_{n}|}[/mm] < 1 für alle n [mm] \ge [/mm] 2. Wenn man nun annimmt, dass es ein q [mm]\in[/mm] (0,1) gibt mit [mm]\wurzel[n]{|a_{n}|} \le[/mm] q für (fast) alle n [mm] \in \IN [/mm] , so würde folgen:
1 [mm] \le [/mm] q,
denn [mm] (\wurzel[n]{|a_{n}|}) [/mm] konvergiert gegen 1.
FRED
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> Kann ich nicht jetzt einfach beide Seiten mit [mm]|^{n}[/mm]
> bearbeiten, sodass ich direkt auf [mm]|a_{n}| \le q^{n}[/mm] , dass
> ich direkt die Abschätzung mit der geometrischen Reihe als
> Majorante habe?
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hey,
ok etwas genauer ausgedrückt wäre es:
lim sup [mm] \wurzel[n]{|a_{n}|} [/mm] <1 => es exisitiert ein q [mm] \in [/mm] (0,1) und N [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] |a_{n}| [/mm] < [mm] q^{n} [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] N. Nachdem Majorantenkriterium konvergiert die Reihe absolut, weil die geometrische Reihe konvergiert.
Ist das hier so gemacht, dass man einfach auf beiden Seiten der Ungleichung [mm] |^{n} [/mm] rechnen kann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:46 Do 09.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> hey,
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> ok etwas genauer ausgedrückt wäre es:
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> lim sup [mm]\wurzel[n]{|a_{n}|}[/mm] <1 => es exisitiert ein q [mm]\in[/mm]
> (0,1) und N [mm]\in \IN[/mm] mit [mm]|a_{n}|[/mm] < [mm]q^{n}[/mm] für alle n [mm]\ge[/mm] N.
> Nachdem Majorantenkriterium konvergiert die Reihe absolut,
> weil die geometrische Reihe konvergiert.
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> Ist das hier so gemacht, dass man einfach auf beiden Seiten
> der Ungleichung [mm]|^{n}[/mm] rechnen kann?
Sei a:=lim sup [mm]\wurzel[n]{|a_{n}|}[/mm]<1.
Ist dann q [mm] \in [/mm] (a,1), so gibt es ein N [mm] \in \IN [/mm] mit:
[mm] \wurzel[n]{|a_{n}|} \le [/mm] q für alle n >N.
"Jetzt alles hoch n" liefert:
[mm] |a_n| \le q^n [/mm] für alle n >N.
FRED
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