Wurzelkriterium funktioniert < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:14 Sa 21.07.2012 | | Autor: | bence |
Hallo,
bin neu hier und habe folgende Frage:
Die Reihe sum (a+1)^(1/n)-1, a = reell, a>o müsste konvergieren, weil
[(a+1)^(1/n)-1]^( 1/n) gegen Null geht. Sie tut es aber nicht. Irgendwo mache ich einen Denkfehler, kommme aber nicht darauf..
Für eine Antwort wäre ich dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo bence und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Meinst du diese Reihe:
[mm]\summe_{n=1}^{\infty}\left( (a+1)^{\bruch{1}{n}}-1\right) ; a>0[/mm]
> Die Reihe sum (a+1)^(1/n)-1, a = reell, a>o müsste
> konvergieren, weil
> [(a+1)^(1/n)-1]^( 1/n) gegen Null geht. Sie tut es aber
> nicht. Irgendwo mache ich einen Denkfehler, kommme aber
> nicht darauf..
Nun, das ist schon für sich alleine ein Denkfehler. Dass die Summanden einer Reihe eine Nullfolge bilden, ist eine notwendige Bedingung für Konvergenz, keinesfalls eine hinreichende.
Eine hinreichende Bedingung wäre bspw. die zusätzliche Erfüllung von Quotienten, Wurzel-, oder auch Majorantenkriterium (oder irgendeines anderen Konvergenzkriteriums).
Was das Konvergenzverhalten dieser Reihe angeht, kann ich dir allerdings bis jetzt auch noch nicht weiterhelfen. Selbst ![[]](/images/popup.gif) wolframalpha macht schlapp; ich (und sicherlich andere hier auch) arbeite mal dran, und lasse es dich wissen, wenn mir noch etwas einfällt.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:11 Sa 21.07.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Ich würde mal stark davon ausgehen, dass das teil divergiert, weil jeder Summand schon größer 1 ist.
Da a>0 ist, ist also alles positiv. Und mit [mm] {b}^\frac{1}{n}=1 [/mm] für b>1 und [mm] n\to\infty
[/mm]
(alles abgesehen vom ersten Summand).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:13 Sa 21.07.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo Richie,
die -1 gehört wohl in die Summe hinein. So einfach ist die Sache also nicht.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:18 Sa 21.07.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo,
Ohja! Das stimmt. Da ist meine Argumentation natürlich Käse!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:09 Sa 21.07.2012 | | Autor: | bence |
Zunächst danke an alle, die geantwortet haben.
Wolframs Summenfunktion ist gar nicht so falsch, jedenfalls stimmt sie mit meinen Berechnungen überein. Die Summenglieder über n eingetragen, ergeben eune logaruthmische Kurve.
Soweit ich weiß, reicht es bei dem Wurzelkriterium aus, wenn die n-te Wurzel aus dem n-ten Glied gegen einen Wert <1 strebt, weitere Bedingungen sind nicht erforderlich. So steht es auch in Wikipedia.
Ich bin auf eure Antworten gespannt und danke nochmals.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:17 Sa 21.07.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo,
die Reihe [mm] $\sum \bigl((a+1)^{\frac 1 n} -1\bigr)$ [/mm] divergiert für jedes $a>0$, denn sie hat die harmonische Reihe als Minorante.
Dies sieht man so:
Setze [mm] $\alpha =(a+1)^\frac [/mm] 1 n$. Aus [mm] $\frac {\alpha^n - 1} {\alpha - 1} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{n-1} \alpha^k \le n*\alpha^{n-1}$ [/mm] folgt [mm] $\alpha [/mm] -1 [mm] \ge \frac {\alpha^n -1} {n*\alpha ^{n-1}} [/mm] = [mm] \frac [/mm] a [mm] {n*\alpha ^{n-1} } [/mm] > [mm] \frac [/mm] 1 n * [mm] \frac [/mm] a {a+2}$ für fast alle $n$.
Letzteres folgt aus [mm] $\alpha [/mm] ^{n-1}= [mm] (a+1)^{\frac {n-1} n} \to [/mm] a+1$ für [mm] $n\to\infty$, [/mm] so daß [mm] $\alpha [/mm] ^{n-1} < a+2$ für fast alle $n$.
Gruß,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:35 Sa 21.07.2012 | | Autor: | bence |
Hallo Wolfgang,
vielen Dank für deine Lösung!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:09 So 22.07.2012 | | Autor: | fred97 |
Noch eine M;öglichkeit:
Setze b:=a+1, c:=ln(b) [mm] a_n:=b^{1/n}-1 [/mm] und [mm] b_n:=1/n, f(x)=b^x.
[/mm]
Dann ist
$0< c=f'(0)= [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{b^x-1}{x}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{a_n}{b_n}$
[/mm]
Damit gilt: [mm] \bruch{a_n}{b_n}>c/2 [/mm] für fast alle n.
Also: [mm] a_n> \bruch{c/2}{n} [/mm] für fast alle n.
FRED
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