Wurzeln einer komplexen Zahl < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:40 Di 28.10.2014 | | Autor: | Rzeta |
| Aufgabe | | Berechnen sie für [mm] z^{6}=64 [/mm] z [mm] \in \IN [/mm] die Lösungen in der komplexen ebene und veranschaulichen Sie diese. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich habe Probleme mit der oben genannten Frage. Ich verstehe einfach nicht wie ich die komplexen Wurzeln der komplexen Zahl Z berechne.
Ich hab mir schon überlegt das zu vereinfachen und z=+-2 zu schreiben aber das hilft mir ja nicht unbedingt weiter?
Ich weiß noch aus der Vorlesung das die Wurzel so definiert ist [mm] \wurzel[n]{z}=\wurzel[n]{| z |}*(cos(\bruch{\gamma}{n})+isin(\bruch{\gamma}{n})
[/mm]
Betrachte ich jetzt die komplexe Zahl z dann hat sie ja nur einen realteil (2) und keinen Imaginärteil d.h das argument ist 0 (oder [mm] 2\pi, 4\pi [/mm] etc). Wie schreibe ich das aber jetzt in polarkoordinaten?
[mm] z=2(cos(2\pi)-isin(2\pi))? [/mm] Irgendwas läuft da schief.
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> Berechnen sie für [mm]z^{6}=64[/mm] z [mm]\in \IN[/mm] die Lösungen in der
> komplexen ebene und veranschaulichen Sie diese.
> Hallo,
>
> ich habe Probleme mit der oben genannten Frage. Ich
> verstehe einfach nicht wie ich die komplexen Wurzeln der
> komplexen Zahl Z berechne.
>
> Ich hab mir schon überlegt das zu vereinfachen und z=+-2
> zu schreiben aber das hilft mir ja nicht unbedingt weiter?
>
> Ich weiß noch aus der Vorlesung das die Wurzel so
> definiert ist [mm]\wurzel[n]{z}=\wurzel[n]{| z |}*(cos(\bruch{\gamma}{n})+isin(\bruch{\gamma}{n})[/mm]
>
> Betrachte ich jetzt die komplexe Zahl z dann hat sie ja nur
> einen realteil (2) und keinen Imaginärteil d.h das
> argument ist 0 (oder [mm]2\pi, 4\pi[/mm] etc). Wie schreibe ich das
> aber jetzt in polarkoordinaten?
>
> [mm]z=2(cos(2\pi)-isin(2\pi))?[/mm] Irgendwas läuft da schief.
Hallo Rzeta
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Oben hast du geschrieben:
[mm]z^{6}=64\qquad \quad z \in \IN[/mm]
Mit der einschränkenden Bedingung $\ [mm] z\in\IN$ [/mm] ist natürlich
$\ z\ =\ [mm] \sqrt[6]{64}\ [/mm] =\ 2$ die einzige Lösung.
Ich denke aber, dass wohl gemeint war:
[mm]z^{6}=64\qquad \quad z \in \IC[/mm]
In diesem Fall gibt es nicht nur eine Lösung, sondern
deren 6 .
Zur Formel, die du angibst:
$ [mm] \wurzel[n]{z}=\wurzel[n]{| z |}\cdot{}(cos(\bruch{\gamma}{n})+isin(\bruch{\gamma}{n}) [/mm] $
ist zu bemerken, dass die damit zustande kommende
Variablenkollision (Variable z zuerst für die Ausgangszahl,
aber dann auch für deren sechste Wurzel) ungünstig ist.
Wir sollten besser schreiben:
$\ [mm] z_k\ [/mm] =\ [mm] \wurzel[n]{| 64 |}\cdot{}(cos(\bruch{\gamma}{n})+i*sin(\bruch{\gamma}{n}) [/mm] $
oder noch etwas besser:
$\ [mm] z_k\ [/mm] =\ [mm] \wurzel[n]{| 64 |}\cdot{}(cos(\bruch{\gamma_k}{n})+i*sin(\bruch{\gamma_k}{n}) [/mm] $
Dabei soll nun n=6 sein, k läuft z.B. von 0 bis 5 , und
es ist [mm] $\gamma_k\ [/mm] =\ [mm] 0+k*2*\pi$ [/mm]
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:02 Mi 29.10.2014 | | Autor: | Rzeta |
Danke für die Antwort! Ja, ich meinte natürlich z [mm] \in \IC. [/mm]
Jetzt macht das ganze schon mehr Sinn. Ich bin mir aber noch nicht sicher ob ich die Idee dahinter richtig verstanden habe. Ich schreibe jetzt einfach mal meine Gedanken aus und wäre Dir dankbar wenn du mich korrigierst falsch ich etwas falsches sage.
Ich suche praktisch die Lösung der Gleichung [mm] z^{6}=64. [/mm] In Worte gefasst: welche zahl 6 mal mit sich selber multipliziert ergibt 64. Wenn ich die Menge der natürlichen Zahlen betrachte erscheint es mir sofort logisch das 2 die einzige Lösung ist.
Betrachte ich nun die Menge der komplexen Zahlen für die gilt das sie 6 mal mit sich selber multipliziert 64 ergeben bin ich mir nicht mehr ganz so sicher was damit gemeint ist.
Ich versuche es trotzdem mal. Eine komplexe Zahl kann als a+bi in der komplexen Zahlenebene oder als [mm] r(cos(\gamma)-isin(\gamma)) [/mm] in Polarkoordinaten geschrieben werden.
Ich betrachte jetzt nur mal die Polare Darstellung. Es erscheint mir als schlüssig das wenn man eine komplexe Zahl mit sich selber multipliziert das sich dann die Winkel addieren und die Beträge multiplizieren. Geometrisch kann ich mir das auch ganz gut veranschaulichen. Umgekehrt kann ich mir dann auch die Quadratwurzel gut vorstellen, praktisch die Umkehrung des quadrierens. Der Winkel halbiert sich und der Betrag gestaucht.
Was ich jetzt aber noch nicht verstehe ist warum [mm] z^{n} [/mm] n wurzeln hat und warum der index k von 0 bis n-1 läuft. Ausserdem verstehe ich nicht genau was es mit diesem Term auf sich hat:
$ [mm] \gamma_k\ [/mm] =\ [mm] 0+k\cdot{}2\cdot{}\pi [/mm] $
Ich hoffe das war jetzt nicht zu viel text.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:01 Mi 29.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für die Antwort! Ja, ich meinte natürlich z [mm]\in \IC.[/mm]
>
> Jetzt macht das ganze schon mehr Sinn. Ich bin mir aber
> noch nicht sicher ob ich die Idee dahinter richtig
> verstanden habe. Ich schreibe jetzt einfach mal meine
> Gedanken aus und wäre Dir dankbar wenn du mich korrigierst
> falsch ich etwas falsches sage.
>
> Ich suche praktisch die Lösung der Gleichung [mm]z^{6}=64.[/mm] In
> Worte gefasst: welche zahl 6 mal mit sich selber
> multipliziert ergibt 64. Wenn ich die Menge der
> natürlichen Zahlen betrachte erscheint es mir sofort
> logisch das 2 die einzige Lösung ist.
>
> Betrachte ich nun die Menge der komplexen Zahlen für die
> gilt das sie 6 mal mit sich selber multipliziert 64 ergeben
> bin ich mir nicht mehr ganz so sicher was damit gemeint
> ist.
genau das, was Du sagst - nur, dass Du in [mm] $\IC$ [/mm] multiplizierst.
> Ich versuche es trotzdem mal. Eine komplexe Zahl kann als
> a+bi in der komplexen Zahlenebene oder als
> [mm]r(cos(\gamma)-isin(\gamma))[/mm] in Polarkoordinaten geschrieben
> werden.
[mm] $a+b*i\,$
[/mm]
kannst Du in der Form
[mm] $r*(\cos(\gamma),\sin(\gamma)) \in \IR^2$
[/mm]
oder
[mm] $r*\left(\cos(\gamma)$ [red]+[/red] $i*\sin(\gamma)\right) \in \IC \cong \IR^2$
[/mm]
schreiben. Das, was Du sagst, ist auch nicht wirklich falsch, aber macht so
eher keiner...
Unabhängig davon: Man kann noch wesentlich mehr über [mm] $\gamma$ [/mm] bzw. [mm] $r\,$ [/mm] aussagen...
> Ich betrachte jetzt nur mal die Polare Darstellung. Es
> erscheint mir als schlüssig das wenn man eine komplexe
> Zahl mit sich selber multipliziert das sich dann die Winkel
> addieren und die Beträge multiplizieren.
Kennst Du die komplexe Exponentialfunktion? Man kann sich hier durchaus
algebraisch/analytisch mehr weiterhelfen, als nur zu sagen: Das scheint
mir klar. Aber wenn man
[mm] $e^{i \phi}=\cos(\phi)+i*\sin(\phi)$ [/mm] für jedes [mm] $\phi \in \IR$
[/mm]
akzeptiert, dann wird das, was Du sagst, relativ klar, wenn man die
Additionstheoreme benutzt, und ein wenig Geometrie betreibt.
> Geometrisch kann
> ich mir das auch ganz gut veranschaulichen. Umgekehrt kann
> ich mir dann auch die Quadratwurzel gut vorstellen,
> praktisch die Umkehrung des quadrierens. Der Winkel
> halbiert sich und der Betrag gestaucht.
>
> Was ich jetzt aber noch nicht verstehe ist warum [mm]z^{n}[/mm] n
> wurzeln hat und warum der index k von 0 bis n-1 läuft.
Sei $z [mm] \in \IC$ [/mm] mit [mm] $z^n=64\,.$ [/mm] Dann gilt
[mm] $z^n=|z|^n*(e^{i \phi})^n=|z|^n*e^{i n \phi}$
[/mm]
mit o.E. einem eindeutig bestimmten [mm] $\phi \in [0,2\pi)\,.$ [/mm] (Da $z [mm] \not=0$!)
[/mm]
Wegen
[mm] $|z^n|=|64|=64$
[/mm]
folgt
[mm] $|z|^n=64$ [/mm]
und damit
[mm] $|z|=\sqrt[n]{64}\,.$ [/mm] (Beachte, dass wir [mm] $z=|z|*e^{i \phi}$ [/mm] haben, wir suchen
noch "(alle) geeignete(n) [mm] $\phi$".)
[/mm]
Aus
[mm] $64=|z^n|=|z|^n*e^{i n \phi}$
[/mm]
folgt
[mm] $e^{i n \phi}=1\,.$
[/mm]
Wie man an die n-ten Einheitswurzeln in [mm] $\IC$ [/mm] kommt, ist Dir aber klar?
![[]](/images/popup.gif) Seite 9; nicht nur die fetten Punkte beachten
Und dass
[mm] $\IR \ni \phi \mapsto e^{i \phi}$
[/mm]
[mm] $2\pi$-periodisch [/mm] ist, auch?
Ansonsten nochmal der Hinweis: Schau Dir die komplexe Exponentialfunktion
an (Reihendarstellung). Da gibt's sowas, was Du von der Schule her kennst,
was auch im komplexen gilt: [mm] $\exp(w+z)=\exp(w)*\exp(z)\,.$
[/mm]
Ferner gilt
[mm] $|e^{i \phi}|=1$ [/mm] für alle reellen [mm] $\phi$. [/mm]
Etc. pp.
> Ausserdem verstehe ich nicht genau was es mit diesem Term
> auf sich hat:
>
> [mm]\gamma_k\ =\ 0+k\cdot{}2\cdot{}\pi[/mm]
Das hat mit der genannten [mm] $2\pi$-Periodizität [/mm] zu tun.
> Ich hoffe das war jetzt nicht zu viel text.
Ich mach's mal anders (ich mache wieder speziell [mm] $n=6\,$):
[/mm]
Du suchst alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] mit
[mm] $z^6=64\,.$
[/mm]
Das sind alle komplexen [mm] $z\,$ [/mm] mit
[mm] $(z/64)^6=1\,.$
[/mm]
Substituiere (mit $w [mm] \in \IC$)
[/mm]
[mm] $w:=z/64\,.$
[/mm]
Dann ist [mm] $|w|=1\,.$ [/mm] (Warum? Ferner: Daher folgt [mm] $w=e^{i \varphi}$ [/mm] mit genau
einem geeigneten [mm] $\varphi \in [0,2\pi)\,.$)
[/mm]
Weiter soll
[mm] $w^6=1\,$
[/mm]
gelten. Somit ist [mm] $w\,$ [/mm] eine der 6 Einheitswurzeln. Dieses sind genau jene
komplexe Zahlen, die entstehen, wenn man bei [mm] $\underbrace{(1,0)}_{\text{korrespondiert mit }1+i*0 \in \IC} \in \IR^2 \cong \IC$ [/mm] beginnend,
*sich* immer um (360/6)° = 60° (gegen den Uhrzeigersinn) weiter auf den
Rand des Einheitskreises dreht.
Daher "im [mm] $\IR^2$"
[/mm]
[mm] $w_{k}=(\cos(k*60^\text{o}),\sin(k*60^\text{o}))$ [/mm] ($k=0,...5$)
und Du siehst auch: Bei $k=6$ kämst Du wieder auf [mm] $w_0$ [/mm] zu liegen, bei
$k=7$ auf [mm] $w_1$ [/mm] etc. pp..
In "komplexer Form"
[mm] $w_{k}=\cos(k*60^\text{o})+i*\sin(k*60^\text{o})$ [/mm] ($k=0,...5$)
Damit
[mm] $z^6=64$
[/mm]
[mm] $\iff$ [/mm] $z [mm] \in \{\underbrace{\sqrt[6]{64}}_{\text{gew. Rechnung in } \IR}*(\cos(k*60^\text{o})+i*\sin(k*60^\text{o}),\;\; k=0,...,5\}$ [/mm]
Und beachte: $60$° steht da, weil [mm] $360/60=60\,$ [/mm] ist. Im Bogenmaß steht da
[mm] $2\pi/6\,.$
[/mm]
Jedenfalls das Fazit:
Sei $p > [mm] 0\,.$ [/mm] Sei $n [mm] \in \IN$ [/mm] fest. Das Problem, alle Lösungen $z [mm] \in \IC$ [/mm] der Gleichung
[mm] $z^n=p$
[/mm]
zu finden, kann mit der Substitution
[mm] $w:=\frac{z}{\sqrt[n]{p}}$ [/mm] (die n-te Wurzel ist die *übliche* in [mm] $\IR$)
[/mm]
wegen dann der Gleichwertigkeit zu
[mm] $w^n=1\,$
[/mm]
auf das Problem zurückgeführt werden, die n-ten Einheitswurzeln in [mm] $\IC$ [/mm] zu
finden.
Und die findet man durch "Einheitskreiseinteilung", das ist Dir sicher bekannt,
ansonsten haben wir oben ja ein Beispiel dazu stehen.
Am Ende die Resubstitution nicht vergessen, d.h.:
Sind [mm] $E_{0},...,E_{n-1}$ [/mm] die n-ten Einheitswurzeln, so finden wir alle
gesuchten komplexen Zahlen [mm] $z\,$ [/mm] mit [mm] $z^n=p$ [/mm] durch Angabe der Menge
[mm] $\{\sqrt[n]{p}*E_k:\;\; k=0,...,n-1\}\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:21 Mi 29.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
vllt. neben dem Ellenlangen Text einfach mal ein *Kurzfazit*:
Dir wird die Anzahl der Lösung wesentlich klarer werden, wenn Du Dir
erstmal klar machst, dass es im komplexen für die Gleichung
[mm] $z^n=1$
[/mm]
eben genau n verschiedene komplexe Zahlen gibt, die sie lösen. Diese
Dinger nennt man dann die n-ten Einheitswurzeln.
Du musst da ein wenig aufpassen:
Ich habe
[mm] $E_0,...,E_{n-1}$, [/mm] kurz [mm] $E_k$ ($k=0,...,n-1\,$)
[/mm]
für sie geschrieben. Genauer müßte ich da aber mehr schreiben, etwa
[mm] ${^{(n)}E_{k}}$ [/mm] ($k=0,...,n-1$)
Der Grund ist klar, oder? Es gilt zwar
[mm] ${^{(m)}E_{0}}={^{(n)}E_0}=1+0*i=1$ [/mm] für alle $m,n [mm] \in \IN\,,$
[/mm]
aber bspw. ist
[mm] ${^{(2)}E_1} \not={^{(3)}E_1}$....
[/mm]
Gruß,
Marcel
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> Danke für die Antwort! Ja, ich meinte natürlich z [mm]\in \IC.[/mm]
>
> Jetzt macht das ganze schon mehr Sinn. Ich bin mir aber
> noch nicht sicher ob ich die Idee dahinter richtig
> verstanden habe. Ich schreibe jetzt einfach mal meine
> Gedanken aus und wäre Dir dankbar wenn du mich korrigierst
> falsch ich etwas falsches sage.
>
> Ich suche praktisch die Lösung der Gleichung [mm]z^{6}=64.[/mm] In
> Worte gefasst: welche zahl 6 mal mit sich selber
> multipliziert ergibt 64. Wenn ich die Menge der
> natürlichen Zahlen betrachte erscheint es mir sofort
> logisch das 2 die einzige Lösung ist.
>
> Betrachte ich nun die Menge der komplexen Zahlen für die
> gilt das sie 6 mal mit sich selber multipliziert 64 ergeben
> bin ich mir nicht mehr ganz so sicher was damit gemeint
> ist.
>
> Ich versuche es trotzdem mal. Eine komplexe Zahl kann als
> a+bi in der komplexen Zahlenebene oder als
> [mm]r(cos(\gamma)-isin(\gamma))[/mm] in Polarkoordinaten geschrieben
> werden.
>
> Ich betrachte jetzt nur mal die Polare Darstellung. Es
> erscheint mir als schlüssig das wenn man eine komplexe
> Zahl mit sich selber multipliziert das sich dann die Winkel
> addieren und die Beträge multiplizieren. Geometrisch kann
> ich mir das auch ganz gut veranschaulichen. Umgekehrt kann
> ich mir dann auch die Quadratwurzel gut vorstellen,
> praktisch die Umkehrung des quadrierens. Der Winkel
> halbiert sich und der Betrag gestaucht.
>
> Was ich jetzt aber noch nicht verstehe ist warum [mm]z^{n}[/mm] n
> wurzeln hat und warum der index k von 0 bis n-1 läuft.
> Ausserdem verstehe ich nicht genau was es mit diesem Term
> auf sich hat:
>
> [mm]\gamma_k\ =\ 0+k\cdot{}2\cdot{}\pi[/mm]
>
> Ich hoffe das war jetzt nicht zu viel text.
Hallo Rzeta,
mir gefallen ausführliche und klar verständliche Texte
deutlich besser als knappe und oft unklare Anfragen.
Marcel hat schon ausführlich geantwortet. Darum möchte
ich nur zwei kleine Anmerkungen machen.
Erstens:
Wenn du dir die Multiplikation und das Potenzieren in [mm] \IC
[/mm]
geometrisch gut vorstellen kannst, kannst du bestimmt
auch leicht nachvollziehen, warum eine Gleichung der Form
[mm] z^6 [/mm] = w mit [mm] w\in \IC [/mm] und [mm] z\in \IC [/mm] sechs Lösungen hat.
Der Betrag aller dieser Lösungen muss natürlich gleich
der 6. Wurzel aus |w| sein. Alle allfälligen Lösungen
liegen also auf einem Kreis um den Nullpunkt mit
diesem Radius $\ r\ =\ [mm] \sqrt[6]{|w|}$. [/mm] Die Argumente (Winkel) [mm] \gamma_k [/mm]
der Lösungen müssen alle die Eigenschaft haben,
dass [mm] 6*\gamma_k [/mm] gleich einem der (unendlich vielen)
möglichen Argumentwinkel der Zahl w ist.
Hat w zum Beispiel den Argumentwinkel 60° , so kann
man stattdessen ebensogut einen der Winkel 420°, 780°,
1140°, 1500°, ..... oder auch -300°, -660°, -1020°, .....
nehmen. Jeder dieser Winkel, dividiert durch 6, ergibt
dann einen möglichen Argumentwinkel für eine der
Lösungen [mm] z_k [/mm] der Gleichung [mm] z^6 [/mm] = w . Weshalb man
dann doch nicht gerade [mm] \infty [/mm] viele, sondern doch
"nur" 6 mögliche Lösungen ("Wurzeln") bekommt,
kannst du dir bestimmt auch noch klar machen.
Zweitens:
Oben hast du geschrieben:
> Ich suche praktisch die Lösung der Gleichung [mm]z^{6}=64.[/mm] In
> Worte gefasst: welche zahl 6 mal mit sich selber
> multipliziert ergibt 64.
Mir ist klar, dass das auch von vielen anderen (auch
Mathelehrkräften) so formuliert wird. Trotzdem ist (*)
es falsch. Wenn ich die Aufgabe erhalten würde,
zum Beispiel die Zahl 5 6 mal mit sich selber zu
multiplizieren, wäre meine Lösung:
$\ [mm] 5\,*\,5\ [/mm] =\ 25$
$\ [mm] 5\,*\,5\ [/mm] =\ 25$
$\ [mm] 5\,*\,5\ [/mm] =\ 25$
$\ [mm] 5\,*\,5\ [/mm] =\ 25$
$\ [mm] 5\,*\,5\ [/mm] =\ 25$
$\ [mm] 5\,*\,5\ [/mm] =\ 25$
Einverstanden ?
Falls nicht: warum denn nicht ?
Und übrigens noch: wenn ich wirklich die Potenz [mm] 5^6 [/mm] durch
Multiplizieren berechnen will, so muss ich gar nicht 6 mal
multiplizieren, sondern nur 5 mal ! (***)
LG , Al-Chwarizmi
(***) nur noch als Anmerkung für solche Leser wie
Marcel: ich hätte schreiben können: "höchstens" 5 mal.
Ginge es etwa darum, [mm] 2^{100} [/mm] zu berechnen (vielleicht
sogar einmal ohne Rechenhilfsmittel außer Papier und
Bleistift), würde ich natürlich einen Weg wählen, bei dem
ich mit wesentlich weniger als 99 Multiplikationen
auskommen würde ... Allerdings sind dann ein paar
zusätzliche Überlegungen bzw. Nebenrechnungen nötig.
(*) Bei "mathematik-wissen" liest man tatsächlich:
Eine Zahl a mit n zu potenzieren, bedeutet, diese
Zahl n-mal mit sich selbst zu multiplizieren.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:36 Mi 29.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Al,
> > Danke für die Antwort! Ja, ich meinte natürlich z [mm]\in \IC.[/mm]
> >
> > Jetzt macht das ganze schon mehr Sinn. Ich bin mir aber
> > noch nicht sicher ob ich die Idee dahinter richtig
> > verstanden habe. Ich schreibe jetzt einfach mal meine
> > Gedanken aus und wäre Dir dankbar wenn du mich korrigierst
> > falsch ich etwas falsches sage.
> >
> > Ich suche praktisch die Lösung der Gleichung [mm]z^{6}=64.[/mm] In
> > Worte gefasst: welche zahl 6 mal mit sich selber
> > multipliziert ergibt 64. Wenn ich die Menge der
> > natürlichen Zahlen betrachte erscheint es mir sofort
> > logisch das 2 die einzige Lösung ist.
> >
> > Betrachte ich nun die Menge der komplexen Zahlen für die
> > gilt das sie 6 mal mit sich selber multipliziert 64 ergeben
> > bin ich mir nicht mehr ganz so sicher was damit gemeint
> > ist.
> >
> > Ich versuche es trotzdem mal. Eine komplexe Zahl kann als
> > a+bi in der komplexen Zahlenebene oder als
> > [mm]r(cos(\gamma)-isin(\gamma))[/mm] in Polarkoordinaten geschrieben
> > werden.
> >
> > Ich betrachte jetzt nur mal die Polare Darstellung. Es
> > erscheint mir als schlüssig das wenn man eine komplexe
> > Zahl mit sich selber multipliziert das sich dann die Winkel
> > addieren und die Beträge multiplizieren. Geometrisch kann
> > ich mir das auch ganz gut veranschaulichen. Umgekehrt kann
> > ich mir dann auch die Quadratwurzel gut vorstellen,
> > praktisch die Umkehrung des quadrierens. Der Winkel
> > halbiert sich und der Betrag gestaucht.
> >
> > Was ich jetzt aber noch nicht verstehe ist warum [mm]z^{n}[/mm] n
> > wurzeln hat und warum der index k von 0 bis n-1 läuft.
> > Ausserdem verstehe ich nicht genau was es mit diesem Term
> > auf sich hat:
> >
> > [mm]\gamma_k\ =\ 0+k\cdot{}2\cdot{}\pi[/mm]
> >
> > Ich hoffe das war jetzt nicht zu viel text.
>
> Hallo Rzeta,
>
> mir gefallen ausführliche und klar verständliche Texte
> deutlich besser als knappe und oft unklare Anfragen.
>
> Marcel hat schon ausführlich geantwortet. Darum möchte
> ich nur zwei kleine Anmerkungen machen.
>
> Erstens:
>
> Wenn du dir die Multiplikation und das Potenzieren in [mm]\IC[/mm]
> geometrisch gut vorstellen kannst, kannst du bestimmt
> auch leicht nachvollziehen, warum eine Gleichung der Form
> [mm]z^6[/mm] = w mit [mm]w\in \IC[/mm] und [mm]z\in \IC[/mm] sechs Lösungen hat.
> Der Betrag aller dieser Lösungen muss natürlich gleich
> der 6. Wurzel aus |w| sein. Alle allfälligen Lösungen
> liegen also auf einem Kreis um den Nullpunkt mit
> diesem Radius [mm]\ r\ =\ \sqrt[6]{|w|}[/mm]. Die Argumente
> (Winkel) [mm]\gamma_k[/mm]
> der Lösungen müssen alle die Eigenschaft haben,
> dass [mm]6*\gamma_k[/mm] gleich einem der (unendlich vielen)
> möglichen Argumentwinkel der Zahl w ist.
> Hat w zum Beispiel den Argumentwinkel 60° , so kann
> man stattdessen ebensogut einen der Winkel 420°, 780°,
> 1140°, 1500°, ..... oder auch -300°, -660°, -1020°,
> .....
> nehmen. Jeder dieser Winkel, dividiert durch 6, ergibt
> dann einen möglichen Argumentwinkel für eine der
> Lösungen [mm]z_k[/mm] der Gleichung [mm]z^6[/mm] = w . Weshalb man
> dann doch nicht gerade [mm]\infty[/mm] viele, sondern doch
> "nur" 6 mögliche Lösungen ("Wurzeln") bekommt,
> kannst du dir bestimmt auch noch klar machen.
>
> Zweitens:
>
> Oben hast du geschrieben:
>
> > Ich suche praktisch die Lösung der Gleichung [mm]z^{6}=64.[/mm]
> In
> > Worte gefasst: welche zahl 6 mal mit sich selber
> > multipliziert ergibt 64.
>
> Mir ist klar, dass das auch von vielen anderen (auch
> Mathelehrkräften) so formuliert wird. Trotzdem ist
> (*)
> es falsch. Wenn ich die Aufgabe erhalten würde,
> zum Beispiel die Zahl 5 6 mal mit sich selber zu
> multiplizieren, wäre meine Lösung:
>
> [mm]\ 5\,*\,5\ =\ 25[/mm]
> [mm]\ 5\,*\,5\ =\ 25[/mm]
> [mm]\ 5\,*\,5\ =\ 25[/mm]
> [mm]\ 5\,*\,5\ =\ 25[/mm]
> [mm]\ 5\,*\,5\ =\ 25[/mm]
> [mm]\ 5\,*\,5\ =\ 25[/mm]
>
> Einverstanden ?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Eigentlich hast Du damit absolut recht, denn wenn man das so wortwörtlich runterprogrammieren würde:
a=5;
for k=1:6
z=a*a;
end;
> Falls nicht: warum denn nicht ?
Das war mir noch nie aufgefallen. Tatsächlich müßte man daher besser
sagen:
Wir suchen eine Zahl [mm] $a\,$ [/mm] derart, dass, wenn man das Produkt aus 6 Faktoren
bildet und jeder dieser Faktoren dann die gesuchte Zahl [mm] $a\,$ [/mm] ist, diese dann
... ergibt. (Bei [mm] $a^6=...$.)
[/mm]
> Und übrigens noch: wenn ich wirklich die Potenz [mm]5^6[/mm] durch
> Multiplizieren berechnen will, so muss ich gar nicht 6
> mal
> multiplizieren, sondern nur 5 mal ! (***)
>
> LG , Al-Chwarizmi
>
>
> (***) nur noch als Anmerkung für solche Leser wie
> Marcel: ich hätte schreiben können: "höchstens" 5
> mal.
Du musst es nicht übertreiben, auch, wenn Du recht damit hast, dass ich
schon immer extrem ins Detail gehen kann. 
> Ginge es etwa darum, [mm]2^{100}[/mm] zu berechnen (vielleicht
> sogar einmal ohne Rechenhilfsmittel außer Papier und
> Bleistift), würde ich natürlich einen Weg wählen, bei
> dem
> ich mit wesentlich weniger als 99 Multiplikationen
> auskommen würde ...
Ich jetzt auch: square and multiply. 
> Allerdings sind dann ein paar
> zusätzliche Überlegungen bzw. Nebenrechnungen nötig.
>
>
> (*) Bei
> "mathematik-wissen"
> liest man tatsächlich:
> Eine Zahl a mit n zu potenzieren, bedeutet, diese
> Zahl n-mal mit sich selbst zu multiplizieren.
Kann man das kommentieren/ändern? Wie bei Wiki?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:14 Do 30.10.2014 | | Autor: | Rzeta |
Super!
Nur noch eine kurze Frage zu den Winkeln. Kann man es so sagen das man immer genau n-1 Winkel hat weil ich bei dem 6. ja wieder am Anfang bei meinem schon errechneten ersten Winkel wäre?
Das mit dem potenzieren habe ich noch nie so betrachtet. Man bekommt das immer so in der Schule beigebracht und hinterfragt das nicht bzw. denkt nie wirklich selber kritisch darüber nach. Aber ich stimme dir zu das wenn man [mm] 5^3 [/mm] als "fünf 3-mal mit sich selber multipliziert" ausspricht es eigentlich nicht korrekt ist.
Eure posts haben mir wirklich sehr viel weiter geholfen. Wenn man beginnt Mathe zu verstehen macht es ja sogar spaß!
Liebe Grüße
Rzeta
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:26 Do 30.10.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Super!
>
> Nur noch eine kurze Frage zu den Winkeln. Kann man es so
> sagen das man immer genau n-1 Winkel hat weil ich bei dem
> 6. ja wieder am Anfang bei meinem schon errechneten ersten
> Winkel wäre?
wie kommst Du auf den 6.? Du meinst den n-ten? Ich bin mir nicht sicher,
ob ich Deine Frage richtig verstehe, aber:
Wir haben n Einheitswurzeln. Beachte, dass die Menge
[mm] $\{\red{0\,},\;1,\;2,\;...,\;n-1\}$
[/mm]
n Elemente hat. Ansonsten: Ja, wir haben n an der Zahl,
weil
[mm] $n*360^\text{0}/n=360^\text{o}$
[/mm]
bzw.
[mm] $n*\frac{2\pi}{n}=2\pi$
[/mm]
ist und [mm] $\IR \ni \phi \mapsto e^{i*\phi}$ [/mm] die Periode [mm] $2\pi$ [/mm] hat. Das kannst Du
Dir geometrisch schön veranschaulichen mit
[mm] $e^{i*\phi}=\cos(\phi)+i *\sin(\phi)$ "$=\,$" $\vektor{\cos(\phi)\\\sin(\phi)}^T \in \IR^{1 \times 2}$
[/mm]
> Das mit dem potenzieren habe ich noch nie so betrachtet.
> Man bekommt das immer so in der Schule beigebracht und
> hinterfragt das nicht bzw. denkt nie wirklich selber
> kritisch darüber nach. Aber ich stimme dir zu das wenn man
> [mm]5^3[/mm] als "fünf 3-mal mit sich selber multipliziert"
> ausspricht es eigentlich nicht korrekt ist.
>
> Eure posts haben mir wirklich sehr viel weiter geholfen.
> Wenn man beginnt Mathe zu verstehen macht es ja sogar
> spaß!
Ich stelle mal auf halb beantwortet, weil der ein oder andere sicher noch
etwas mehr geometrisches dazu sagen kann/will, ich aber auch gerade
nicht mehr Zeit habe, um drauf einzugehen. ^^
Gruß,
Marcel
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> Super!
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> Nur noch eine kurze Frage zu den Winkeln. Kann man es so
> sagen das man immer genau n-1 Winkel hat weil ich bei dem
> 6. ja wieder am Anfang bei meinem schon errechneten ersten
> Winkel wäre?
Dazu hat Marcel geantwortet.
> Das mit dem potenzieren habe ich noch nie so betrachtet.
> Man bekommt das immer so in der Schule beigebracht und
> hinterfragt das nicht bzw. denkt nie wirklich selber
> kritisch darüber nach. Aber ich stimme dir zu das wenn man
> [mm]5^3[/mm] als "fünf 3-mal mit sich selber multipliziert"
> ausspricht es eigentlich nicht korrekt ist.
Dabei muss man daran gar nicht viel abändern. Es passt
schon, zu sagen:
"3 Faktoren 5 miteinander multipliziert"
> Eure posts haben mir wirklich sehr viel weiter geholfen.
> Wenn man beginnt Mathe zu verstehen macht es ja sogar
> spaß!
Ich hätte mir schon lange gewünscht, dass viel mehr
junge Menschen diese Einsicht möglichst früh machen
könnten. Was Spass macht, tut man viel lieber und
gelangt dann mit weniger Aufwand als jene, die sich
alles auf mühsame Art immer wieder für die nächste
Probe einprägen müssen (und es oft danach gleich
wieder vergessen) zu einem wirklichen Verständnis.
LG , Al-Chwarizmi
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