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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:46 Do 22.01.2009 | | Autor: | fred97 |
| Aufgabe | Das ist keine Aufgabe, sondern eine Mitteilung !
In diesem Forum wurde schon häufig die Frage nach der Berechnung von Qudratwurzeln komplexer Zahlen gestellt.
Ich möchte mit dieser Mitteilung eine sehr einfache Methode zur Berechnung solcher Wurzeln vorstellen. Diese Methode ist wahrlich nicht neu, hat aber leider viel zu selten Einzug in Lehrbücher gehalten.
FRED |
Die Methode: Sei $z [mm] \in \IC$.
[/mm]
Fall 1: $z [mm] \in (-\infty, [/mm] 0]$ (d.h.: $z [mm] \in \IR [/mm] $ und $z [mm] \le [/mm] 0$).
In diesem Fall sind [mm] $\pm i\wurzel{-z}$ [/mm] die beiden Qudratwurzeln aus $z$.
[mm] (\wurzel{-z} [/mm] ist die reelle Wurzel !)
Fall 2: [mm] $z\not\in (-\infty, [/mm] 0]$.
Setze
[mm] $w_1 [/mm] = [mm] \wurzel{|z|}\bruch{z+|z|}{|z+|z||}$ [/mm] und [mm] $w_2 [/mm] = [mm] -w_1$
[/mm]
Dann ist leicht zu verifizieren, dass
[mm] $w_1 \not= w_2$ [/mm] und [mm] $w_1^2 [/mm] = [mm] w_2^2 [/mm] = z$
ist. Somit sind [mm] w_1 [/mm] und [mm] w_2 [/mm] die Qudratwurzeln aus $z$.
(Auch hier ist [mm] \wurzel{|z|} [/mm] ist die reelle Wurzel !)
Bemerkung zur geometrischen Konstruktion im Fall 2:
Sei [mm] $\phi [/mm] = arg(z)$. Dann hat $ z+|z|$ schon einmal das "richtige" Argument, nämlich [mm] \bruch{\phi}{2} [/mm] (Skizze !), aber noch nicht die richtige Länge.
[mm] \bruch{z+|z|}{|z+|z||} [/mm] hat dann das richtige Argument und die Länge 1. [mm] w_1 [/mm] und [mm] w_2 [/mm] haben somit das richtige Argument und die richtige Länge.
FRED
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