Wurzelungleichung < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:20 Fr 17.10.2008 | | Autor: | Aquilera |
Es heißt: Beweisen sie, daß für alle positiven reellen Zahlen x und h mit h<8x folgende Ungleichung gilt:
[mm] \wurzel{x}+ \bruch{h}{2*\wurzel{x}}-\bruch{h²}{8x*\wurzel{x}} [/mm] < [mm] \wurzel{x+h} [/mm] < [mm] \wurzel{x} [/mm] + [mm] \bruch{h}{2*\wurzel{x}}
[/mm]
Ich habe hier gar keine Idee, was man von mir will. Soll ich das durch Multiplikation zeigen oder durch Umformungen ?!
Hat jemand nen Tip für mich?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 Fr 17.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du kannst mit dem Hauptnenner, der >0 ist multipl. oder alles auf einen Nenner bringen und dann sagen, dass die Ungleichung bei gleichen Nennern fuer die Zaehler gelten muss.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Fr 17.10.2008 | | Autor: | Aquilera |
Ich habe nun fleißig Umgeformt und auch schon bewiesen, dass x>0 sein muß und bin auf die Aussage
8x²+4xh-h² < [mm] \wurzel{x+h}*2*\wurzel{x} [/mm] < 8x²+4xh
gekommen. Alle Ausführungen danach führten nur zu einer Verkomplizierung der Aussage....
Wie geht's an dieser Stelle weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:17 Fr 17.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine Umformung ist noch falsch.
danach fang mit der linken Ungleichung an. beide zusammen sollte man nicht. und dann ueberleg mal, wie kann man so ne Ungleichung beweisen?
Irgendwas musst du wohl tun
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 Fr 17.10.2008 | | Autor: | Aquilera |
Also erst die linke Seite und dann die rechte? ist das aber so weit richtig, was ich gemacht habe oder ist schon das mist?
Ich würde eine ungleichung solange umformen bis etwas meiner meinung nach wahres da steht, also z.B. 0<x (was die Voraussetzung ist) oder muß ich wieder "abschätzen" ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:51 Fr 17.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hatte doch geschrieben, dass in deiner Umformung noch fehler sind?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 Sa 18.10.2008 | | Autor: | Aquilera |
Ja, du hattest geschrieben, daß in meiner Umformung Fehler sind. Ich erkenne sie allerdings nicht, denn ich halte meine bisherigen Umformungen für Richtig, da ich nur mit positiven Zahlen, die ungleich Null sind multipliziert habe....
Aber ich muß zugeben, ich bin ratlos, was diese aufgabe angeht.
Ich fidne keinen zugang.....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:17 Sa 18.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja, du hattest geschrieben, daß in meiner Umformung Fehler
> sind. Ich erkenne sie allerdings nicht, denn ich halte
> meine bisherigen Umformungen für Richtig, da ich nur mit
> positiven Zahlen, die ungleich Null sind multipliziert
> habe....
>
> Aber ich muß zugeben, ich bin ratlos, was diese aufgabe
> angeht.
> Ich fidne keinen zugang.....
na, mach' es Dir vll. mal einfacher, wenn Du bei einer Doppelungleichung den Überblick verlierst. Du hast ja zu zeigen:
> Es heißt: Beweisen sie, daß für alle positiven reellen Zahlen x und h mit
> h<8x folgende Ungleichung gilt:
> $ [mm] \wurzel{x}+ \bruch{h}{2\cdot{}\wurzel{x}}-\bruch{h²}{8x\cdot{}\wurzel{x}} [/mm] $ < $ [mm] \wurzel{x+h} [/mm] $ < $ [mm] \wurzel{x} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{h}{2\cdot{}\wurzel{x}} [/mm] $
Die Voraussetzungen sind nun also: Es sind $x,h$ positiv, reell und es ist $h < 8x$. Anstatt direkt die Doppelungleichung zu beweisen, beweist Du zunächst einfach mal die erste der beiden Ungleichungen. Danach beweist Du die zweite Ungleichung, und wegen der Transitivität von $<$ bist Du dann fertig.
Erstens:
Zeige also zunächst:
[mm] ($\star$) $\wurzel{x}+ \bruch{h}{2\cdot{}\wurzel{x}}-\bruch{h²}{8x\cdot{}\wurzel{x}} [/mm] < [mm] \wurzel{x+h} [/mm] $
Du rechnest nun nach:
[mm] ($\star$) $\gdw$ [/mm]
(I) [mm] $4x(2x+h)-h^2< 8x\sqrt{x}\sqrt{x+h}$
[/mm]
Es reicht nun, zu begründen, dass unter den gegebenen Voraussetzungen (I) stets gilt (denn diese impliziert wegen [mm] $\Leftarrow$ [/mm] bei [mm] $\gdw$ [/mm] die zu beweisende Ungleichung [mm] ($\star$)).
[/mm]
Dazu zwei Fälle:
1. Fall:
Ist die linke Seite bei (I) [mm] $\le [/mm] 0$, so ist (I) klar.
2. Fall:
Ist die linke Seite bei (I) [mm] $\ge [/mm] 0$, so gilt:
(I) [mm] $\gdw$ $(4x(2x+h)-h^2)^2< (8x\sqrt{x}\sqrt{x+h})^2$ [/mm] ...
(Das musst Du noch weiter rechnen.)
Wenn Du das getan hast, dann hast Du noch
Zweitens:
Zu zeigen ist:
$ [mm] \wurzel{x+h} [/mm] $ < $ [mm] \wurzel{x} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{h}{2\cdot{}\wurzel{x}} [/mm] $ (unter den getroffenen Voraussetzungen an $x$ und $h$ von oben).
(Drittens: Wie oben erwähnt, folgt aus Erstens und Zweitens dann die Ungleichungskette von Dir wegen der Transitivität von $<$.)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Sa 18.10.2008 | | Autor: | Aquilera |
Hallo!
Danke für deine Antwort.
Aber wenn ich das weiterrechne, wie du vorschlägst, komme ich wiede rzu der aussge, von der leduart sagte, die umformung sei fehlerhaft.
akzeptiere ich sie trotzdem und rechne weiter komme ich auf die aussage:
[mm] 64x^{4}+72x³h-12xh²+8x²h²-4xh³-h^{4} [/mm] < [mm] 64x^{4}+64x³h
[/mm]
daraus kann ich nichts schlußfolgern ?!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:35 Sa 18.10.2008 | | Autor: | Aquilera |
Ich muß revidieren, ich habtte nen verrechner drinne und komme letztlich doch zu einem ergebnis.
Allerdings steht leduarts aussage, daß diese umformungen falsch sind noch im raum.....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:54 Sa 18.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich muß revidieren, ich habtte nen verrechner drinne und
> komme letztlich doch zu einem ergebnis.
>
> Allerdings steht leduarts aussage, daß diese umformungen
> falsch sind noch im raum.....
nein, schau' nochmal hier:
Du hast die Ungleichung (I) zu beweisen. Wenn bewiesen ist, dass die, unter den getroffenen Voraussetzungen an $x$ und $h$ immer gilt, dann ist alles gezeigt.
Bei $ [mm] 4x(2x+h)-h^2< 8x\sqrt{x}\sqrt{x+h} [/mm] $ können aber zwei Fälle auftreten (man beachte, dass die rechte Seite stets $> 0$ ist):
Es kann sein, dass die linke Seite, also [mm] $4x(2x+h)-h^2$, $\le [/mm] 0$ ist. Da die rechte Seite von (I) aber positiv ist, gilt (I) damit sowieso.
Etwas spannender wird es, wenn bei (I) auch die linke Seite, also [mm] $4x(2x+h)-h^2$, [/mm] $> 0$ ist. Dann muss man sich überlegen, wieso (I) gilt. Wir haben das mittels Quadratur gezeigt.
Das geht, weil für $0 [mm] \le [/mm] a$, $0 [mm] \le [/mm] b$ gilt:
(II) [mm] $\black{a} [/mm] < b $ [mm] $\gdw [/mm] $ [mm] $a^2 [/mm] < [mm] b^2$
[/mm]
Wir haben ja dann [mm] $(\underbrace{\;4x(2x+h)-h^2}_{=:a}\;)^2< (\;\underbrace{8x\sqrt{x}\sqrt{x+h}}_{=:b}\;)^2 [/mm] $ nachgerechnet, und bei (II) nutzt man dann [mm] $\Leftarrow$ [/mm] aus, um so zu folgern, dass dann auch (I) gilt.
Damit:
(I) gilt immer (unter den gegebenen Voraussetzungen an $x$ und $h$).
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 Sa 18.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo!
> Danke für deine Antwort.
> Aber wenn ich das weiterrechne, wie du vorschlägst, komme
> ich wiede rzu der aussge, von der leduart sagte, die
> umformung sei fehlerhaft.
>
> akzeptiere ich sie trotzdem und rechne weiter komme ich auf
> die aussage:
> [mm]64x^{4}+72x³h-12xh²+8x²h²-4xh³-h^{4}[/mm] < [mm]64x^{4}+64x³h[/mm]
>
> daraus kann ich nichts schlußfolgern ?!
ich erhalte auch etwas anderes linkerhand. Hier mein nächster Schritt, kontrolliere mal, wo Du Dich verrechnet hast:
[mm] $$(4x(2x+h)-h^2)^2=16x^2(4x^2+4xh+h^2)-8x(2x+h)h^2+h^4=64x^4+64x^3h+16x^2h^2-16x^2h^2-8xh^3+h^4$$
[/mm]
[mm] $$=64x^4+64x^3h-8xh^3+h^4$$
[/mm]
Daher genügt es nun also
[mm] $$64x^4+64x^3h-8xh^3+h^4 [/mm] < [mm] 64x^{4}+64x^3h$$
[/mm]
zu begründen. Und das das (unter den gegebenen Voraussetzungen) gilt, erkennst Du sicher schnell 
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:48 Sa 18.10.2008 | | Autor: | Aquilera |
Ich habe meinen Verrechner gefunden und bin zum erwünschten ergebnis gekommen. :)
(wobei mich imme rnoch die aussage leduarts beschäftigt, die umformung sei falsch....)....
ich danke dir für deine geduld.....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:59 Sa 18.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich habe meinen Verrechner gefunden und bin zum erwünschten
> ergebnis gekommen. :)
>
> (wobei mich imme rnoch die aussage leduarts beschäftigt,
> die umformung sei falsch....)....
>
> ich danke dir für deine geduld.....
bitte und gern geschehen. Vielleicht hast Du Dich ja auch nur verschrieben:
> $8x²+4xh-h² < [mm] \wurzel{x+h}\red{\cdot{}2\cdot{}}\wurzel{x} [/mm] $
Anstelle der roten $2$ gehört da ein $8x$ hin
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:09 Fr 17.10.2008 | | Autor: | abakus |
Diese Aufgabe geisterte doch vor ein paar Tagen schon mal durch das Forum???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:10 Fr 17.10.2008 | | Autor: | Aquilera |
Weißt du noch den titel der FRage bzw in welchem Forum?
Von mir stammt sie definitiv nicht...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:17 Fr 17.10.2008 | | Autor: | abakus |
Habs gefunden:
https://matheraum.de/read?t=451615
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 Sa 18.10.2008 | | Autor: | Aquilera |
Offenbar komme ich mit Umformungen nicht weiter, auch quadrieren hilft mir nicht wirklich weiter.
Die rechte Seite der Doppelungleichung läßt sich ja recht schön mit dem Mittelwertsatz zeigen, was ich auch mache, nun habe ich aber noch das problem mit der linken seite.
Kann mir da jemand helfen? geht das evtl auch mit dem mittelwertsatz?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:21 Sa 18.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
lies' mal bitte erst meine obige Antwort, und dann rechne mal soweit, wie die kommst und zeige uns die Rechnung dann. Evtl. sind bei Dir ja Fehler vorhanden, und andernfalls werden wir Dir dann sagen, wie's weitergeht
Es hat aber wenig Sinn, dass wir Dir einfach alles vorkauen und ich bitte Dich auch darum, das nächste Mal erst eine Antwort abzuwarten, bevor Du eine neue Frage stellst. Denn evtl. klärt sich das Problem ja in der anderen Antwort, und außerdem ist andernfalls die Antwort ja "Zeitverschwendung".
Also nichts gegen Deine Motivation, an der Aufgabe schnellstmöglichst weiterzuarbeiten, aber etwas Geduld musst Du schon an den Tag legen. Sonst verliert man als Antwortgeber die Lust aufs Antwortgeben, weil man das Gefühl bekommt, dass sie eh nicht gelesen werden...
Nichts für ungut.
P.S.:
Ich habe übrigens gerade nachgerechnet:
Die Ungleichung $ [mm] (4x(2x+h)-h^2)^2< (8x\sqrt{x}\sqrt{x+h})^2 [/mm] $
ist für positive $h (,x)$ äquivalent zu $h < 8x$.
Wenn Du die binomische Formel richtig anwendest, solltest Du nach einer (etwas lästigen) Rechnung auch darauf kommen. Meine obige Antwort sollte Dir dann erklären, warum so die erste Ungleichung als wahr erkannt wird (unter den gegebenen Vorr. an $x$ und $h$).
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:29 Sa 18.10.2008 | | Autor: | Aquilera |
habe ich getan. zurück nach oben :)
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