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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:52 So 12.06.2005 | | Autor: | Bonnie |
Eine natürliche Zahl n heißt vollkommen , falls sie gleich der Summe ihrer echten Teiler ist, also [mm] n=\delta(n)-n.
[/mm]
Zu zeigen
a) ist n gerade und vollkommen , dann hat n Einerziffer 6 oder 8
b) ist n gerade und vollkommen ,dann hat die Quersumme von n bei Division durch 9 den Rest 1.
Habe mir dazu schon folgendes überlegt:
wenn n gerade und vollkommen ist , ist das äquivalent dazu dass:
[mm] n=2^{k-1}*(2^k-1) [/mm] mit k größer gleich 2 und [mm] 2^k-1 [/mm] Primzahl.
wenn dies Primzahl dann k auch.
für k=2 ist n=6
k=3--n=28
k=5--n=496
k=7--n=8128
leider weiß ich nicht wie ich so weiterkomme...
also wäre für jede Hilfe dankbar
Bonnie
ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:52 Mo 13.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Bonnie!
Untersuche die Ausdrücke mal für alle $k [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{5}$, [/mm] $k [mm] \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{5}$, $\ldots$, [/mm] $k [mm] \equiv [/mm] 4 [mm] \pmod{5}$ [/mm] und beachte dabei [mm] $2^4 \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{5}$. [/mm] Dann kannst du aussagen, was jeweils
[mm] $2^{k-1} \cdot (2^k-1) \pmod{5}$
[/mm]
ist und daraus dann (da er Ausdruck gerade ist)
[mm] $2^{k-1} \cdot (2^k-1) \pmod{10}$.
[/mm]
Viele Grüße
Julius
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