ZV mit Werten aus{0,1,2,..} < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei X eine Zufallsvariable mit Werten aus {0,1,2,...} und der erzeugenden Funktion [mm] \rho(s) [/mm] = 1 - [mm] (1-s)^{\alpha}, [/mm] wobei 0 < [mm] \alpha [/mm] < 1.
(i) Begründen Sie, ob der Erwartungswert E(X) existiert und finden Sie gegebenenfalls den Erwartungswert.
(ii) Finden Sie P(X=k) für k=0,1,2,... |
Hallo,
Ich habe ein Problem bei Teil ii) dieser Aufgabe. Bisher habe ich:
(i) Der [mm] E(X)=\rho'(s)=\alpha(1-s)^{\alpha-1} [/mm] , jedoch kann ich nicht formell begründen, warum er existiert. Ich erinnere mich, dass der E(X) existiert, wenn sowohl E(X-) als auch E(X+) < unendlich sind, oder? Doch irgendwie bringt mich das hier nicht weiter...
(ii) Hier weiss ich irgendwie gar nicht, wie weiter. Ich denke, dass ich die Verteilung ausfindig machen müsste, von der ZV, aber irgendwie komme ich da nicht weiter...ist der Ansatz richtig?
Vielen Dank!
Viele Grüsse,
Natascha
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:41 Di 07.09.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu,
meinst du mit "erzeugenden Funktion" nicht eher die ![[]](/images/popup.gif) charakteristische Funktion.
Dein Versuch mit der Ableitung den EW zu berechnen, lässt zumindest danach schließen (auch wenn dein Ansatz dann nicht ganz korrekt ist, schau nochmal in dein Skript).
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:06 Di 07.09.2010 | | Autor: | natascha |
> Huhu,
>
> meinst du mit "erzeugenden Funktion" nicht eher die
> charakteristische Funktion.
>
Hmmm wir nennen das im Skript erzeugende Funktion, scheint aber das gleiche zu sein wie die charakteristische Funktion, denn die erzeugende Funktion wie wir sie haben definiert eine Verteilung eindeutig.
Im Skript habe ich auch meinen Fehler gefunden: Ich muss die Ableitung der Funktion im Punkt 0 berechnen, um den Erwartungswert zu erhalten, richtig?
Also wäre das
[mm] \rho'(0) [/mm] = [mm] \alpha^{\alpha-1}
[/mm]
Stimmt das nun? Wie muss ich vorgehen, um zu beweisen, dass der E(X) existiert?
Viele Grüsse,
Natascha
|
|
|
| |
|
Huhu,
> Hmmm wir nennen das im Skript erzeugende Funktion, scheint
> aber das gleiche zu sein wie die charakteristische
> Funktion, denn die erzeugende Funktion wie wir sie haben
> definiert eine Verteilung eindeutig.
ok, wie habt ihr sie denn definiert?
> Im Skript habe ich auch meinen Fehler gefunden: Ich muss
> die Ableitung der Funktion im Punkt 0 berechnen, um den
> Erwartungswert zu erhalten, richtig?
Jein 
Bei den charakteristischen Funktionen wie ICH sie kenne, musst du das ganze noch durch die imaginäre Einheit teilen.
Und ja, dann kannst du aus der Existenz der Ableitung an der Stelle 0 schließen, dass der EW existiert und kennst seinen Wert.
> Also wäre das
> [mm]\rho'(0)[/mm] = [mm]\alpha^{\alpha-1}[/mm]
> Stimmt das nun? Wie muss ich vorgehen, um zu beweisen,
> dass der E(X) existiert?
Wie gesagt, bei der charakteristischen Funktion wie ICH sie kenne, musst du noch durch i teilen.
Und dass der EW existiert folgt dann direkt aus der Ableitung.
Ich würd gern mal wissen, wie ihr die erzeugende Funktion definiert habt
edit: Ok, du meinst wahrscheinlich die Momenterzeugende Funktion.
Und ja, da musst du nicht mehr durch i teilen und du kannst den EW so berechnen, wie du das gemacht hast.
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:41 Di 07.09.2010 | | Autor: | natascha |
Ah, super, ja das scheint meiner Definition zu entsprechen!
Danke!
Grüsse,
Natascha
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Sa 11.09.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
