Zahl mit 10201 versch. Teilern < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:38 Mi 30.11.2011 | | Autor: | kalifat |
| Aufgabe | | Ich suche eine Zahl mit 10201 verschiedenen Teilern, wobei die Zahl 1 und die Zahl selbst auch als Teiler gezählt werden. |
Intuitiv hätte ich sofort auf die kleinste solche Zahl geschlossen, nämlich
[mm] 2^{20200}
[/mm]
Die zweite Frage lautet jedoch, das Streichholzbild mit nur sieben Schritten so umzulegen, dass es die Zahl ergibt (Siehe Bild)
Außerdem steht als Tipp: 10201=101*101, aber das ist meiner Meinung nach doch nur eine Anspielung auf Primfaktorenzerlegung.
[URL=http://imageshack.us/photo/my-images/706/unbenanntqfe.jpg/][IMG]http://img706.imageshack.us/img706/4650/unbenanntqfe.th.jpg[/IMG][/URL]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:34 Mi 30.11.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
deine Intuition ist falsch. nimm kleinste zahl mit 4 Teilern.
nach dir [mm] 2^3=8 [/mm] mit den Teilern 1,2,4,8
aber 6 mit 1,2,3,6 ist kleiner!
2*3*5=30 hat 1,2,3,6,10,15,30 = 7 Teiler
[mm] 2^6=64 [/mm] hat genausoviele 1,2,4,8,16,32,64 ist aber mehr als doppelt so gross!
Also begrab deine "Intuition" und denk mehr an primfaktoren.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 Mi 30.11.2011 | | Autor: | kalifat |
Primfaktoren wären natürlich meine zweite Idee gewesen, ganz offensichtlich muss die Zahl [mm] (P_i [/mm] ...Primzahlen)
[mm] \produkt_{i=1}^{20200}p_i=x
[/mm]
die gewünschte Eigenschaft erfüllen, wobei x die gesuchte Zahl ist.
[mm] p_1=2
[/mm]
Nur wäre in diesem Fall eine explizite Form der Lösung doch mehr als unschön, und wahrscheinlich in keinem Zusammenhang mit den Streichhölzern zu bringen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:11 Mi 30.11.2011 | | Autor: | abakus |
> Primfaktoren wären natürlich meine zweite Idee gewesen,
> ganz offensichtlich muss die Zahl [mm](P_i[/mm] ...Primzahlen)
>
> [mm]\produkt_{i=1}^{20200}p_i=x[/mm]
>
> die gewünschte Eigenschaft erfüllen, wobei x die gesuchte
> Zahl ist.
>
> [mm]p_1=2[/mm]
>
> Nur wäre in diesem Fall eine explizite Form der Lösung
> doch mehr als unschön, und wahrscheinlich in keinem
> Zusammenhang mit den Streichhölzern zu bringen...
>
Hallo,
ist dir bekannt, dass eine Primzahlpotenz [mm]p^k[/mm] genau k+1 Teiler hat (nämlich [mm]p^0[/mm] bis [mm]p^k[/mm])?
Somit ist schon mal [mm]2^{20200}[/mm] eine mögliche Lösung.
Wenn eine Zahl aus zwei Primzahlpotenzen zusammengesetzt ist, dann gilt
[mm]p_1^{n}*p_2^k[/mm] hat (n+1)*(k+1) Teiler.
Die Rolle der Zahlen n+1 und k+1 wird in deinem Beispiel von den beiden Faktoren 101 übernommen.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 Mi 30.11.2011 | | Autor: | kalifat |
[mm] 2^{20200} [/mm] habe ich bereits im 1.ten Post angegeben
n+1=k+1=101
=> n=k=100
Also hat die Zahl dann die Form: [mm] (p_1p_2)^{100}
[/mm]
Nur mein Problem an der ganzen Geschichte ist die Verbindung zu den Streichhölzern.....
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moin kalifat,
Probier doch mal ein paar Primzahlen durch.
Hättest du [mm] $p_1 [/mm] = 2$, [mm] $p_2 [/mm] = 3$ so wäre die gesuchte Zahl [mm] $6^{100}$, [/mm] was sich mit den Streichhölzern ohne Probleme legen ließe; nur bleiben da noch einige übrig.
Also guck einfach mal ob du zwei hübsche Primzahlen findest, die du aus den Streichhölzern legen kannst.
lg
Schadow
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:20 Mi 30.11.2011 | | Autor: | kalifat |
Also ich bin gerade am verzweifeln.
Wenn ich das ^ Zeichen mit nur einem quer gestellten Streichholz, und die Zahl Hundert durch das Verschieben der unteren rechten konstruiere, verbleiben mir weitere 18 Streichhölzer(von links) und 5 maximal noch zulässige Züge.
Eine Primzahl die durch 18 Streichhölzer darstellbar wäre ist 233*3=699, aber nicht mit noch verbleibenden 5 Zügen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:43 Mi 30.11.2011 | | Autor: | kalifat |
Ich hätte noch eine Zahl gefunden: 1067, ist jedoch auch nicht mit nur 5 Schritten konstruierbar.
Jemand eine Idee?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:37 Do 01.12.2011 | | Autor: | abakus |
> Ich hätte noch eine Zahl gefunden: 1067, ist jedoch auch
> nicht mit nur 5 Schritten konstruierbar.
>
> Jemand eine Idee?
Hallo,
die Primfaktoren müssen ja nicht 2 und 3 sein, sie können auch 2 und 5 sein.
Lässt sich 10 ^ 100 legen? Das ist auch 100 ^ 50 usw.
Gruß Abakus
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Hallo kalifat,
ich habe auch noch keine Lösung gefunden, will aber noch auf eine Möglichkeit hinweisen.
10201=101*101 gilt für jede Basis b>2. Das hilft nun zwar für den Exponenten nicht wesentlich weiter, ermöglicht aber eine Reihe von neuen Möglichkeiten für die Basis.
So ist z.B. die folgende Zahl zu jeder Basis [mm] b\in\IP, [/mm] b>2 eine mit der gesuchten Eigenschaft: [mm] 2_b^{100_b}*10_b^{100_b}
[/mm]
Zur Basis 3 hieße das ja ins Dezimale übersetzt nichts anderes als [mm] 2^9*3^9, [/mm] eine Zahl mit [mm] 100_{10} [/mm] Teilern. Und es ist [mm] 100_{10}=10201_3=101_3*101_3
[/mm]
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Fr 02.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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