Zahl und Nachfolger durch 10 < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:16 Fr 25.12.2015 | | Autor: | SoWhat |
| Aufgabe | Zeige:
Es existiert eine Zahl [mm] z_1 [/mm] und ihr Nachfolger [mm] z_2 [/mm] so, dass beide Quersummenen der Zahlen ohne Rest durch 10 teilbar sind.
Gesucht ist die [mm] z_1, z_2 [/mm] minimal. |
Hallo!
Die Aufgabe ist eigentlich aus einem Schulbüchlein. Ich wollte eben erstmal beweisen, dass eine solche Zahl [mm] z_1 [/mm] , [mm] z_2 [/mm] existieren kann. Dazu war mein ansatz:
[mm] a_i [/mm] bezeichnen die Einer-,hunderter,... - Stellen
Zahl:
[mm] z_1= a_{n}a_{n-1}...a_1
[/mm]
Nachfolger:
[mm] z_2= [/mm] ( [mm] a_{n}a_{n-1}...a_1)+1
[/mm]
somit gilt für die Quersumme:
[mm] Q_{z_1}=\summe_{i=1}^{n} a_i
[/mm]
[mm] Q_{z_2}=(\summe_{i=1}^{n} a_i)+1
[/mm]
Da sie nach Angabe durch 10 (ohne Rest) teilbar sein sollen, muss für [mm] Q_{z_1},Q_{z_2} [/mm] gelten:
[mm] Q_{z_1}mod10 [/mm] = [mm] Q_{z_2}mod10=0
[/mm]
also
[mm] [\summe_{i=1}^{n} a_i [/mm] - [mm] (\summe_{i=1}^{n} a_i)-1]mod10=0
[/mm]
gdw.
1mod10=0
-->Widerspruch!
Mit 18999999999 und 19000000000 existieren solche [mm] z_1, z_2 [/mm] aber.
Wo liegt der Fehler in meiner Berechnung? Nach meiner Berechnung kann es solche Zahlen ja eigtl. nicht gebe...
Was stimmt nicht?!?!?
Danke bei der Hilfe mit der Weihnachtsknobelei!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Fr 25.12.2015 | | Autor: | SoWhat |
Hallo!
Der Denkfehler ist gefunden. Ich ging davon aus, dass die Quersumme stetig steigt. Dies ist natürlich nicht der Fall. Bei jedem Übertrag fällt sie Summe natürlich erstmal ab, steigt dann aber höher.
Jetzt wirds knifflig. Wie würde denn ein allgemeiner Beweis für die Existenz dieser Zahl/Nachfolgezahl lauten??
Damit bin ich gut überfragt! Jemand eine Idee?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:36 Fr 25.12.2015 | | Autor: | statler |
Auch hallo!
> Jetzt wirds knifflig. Wie würde denn ein allgemeiner
> Beweis für die Existenz dieser Zahl/Nachfolgezahl
> lauten??
> Damit bin ich gut überfragt! Jemand eine Idee?
Der beste Beweis für die Existenz einer Zahl ist ihre explizite Angabe, und das hast du doch gemacht!
Frohe Weihnachten
Dieter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:44 Fr 25.12.2015 | | Autor: | felixf |
Moin!
Beachte, dass du jede Zahl $a$ eindeutig darstellen kannst als $a = x [mm] \cdot 10^k [/mm] + [mm] (10^k [/mm] - 1)$. Die Zahl hat hinten genau $k$ Neunen und wenn man diese abschneidet, hat der Rest hinten keine 9.
Diese Darstellung hat den Vorteil, dass $a + 1 = (x + 1) [mm] \cdot 10^k$ [/mm] ist und somit $QS(a) = QS(x) + k [mm] \cdot [/mm] 9$ und $QS(a + 1) = QS(x) + 1$ ist, mit $QS$ der Quersumme (da $x$ hinten keine 9 hat ist die Dezimaldarstellung von $x + 1$ gleich der von $x$, ausser das bei der letzten Stelle die Ziffer um 1 grösser wird).
Mit dieser Beobachtung solltest du die Aufgabe effektiv lösen können.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:52 Sa 26.12.2015 | | Autor: | statler |
Moin Felix!
> Beachte, dass du jede Zahl [mm]a[/mm] eindeutig darstellen kannst
> als [mm]a = x \cdot 10^k + (10^k - 1)[/mm].
Darüber mußte ich direkt etwas länger nachdenken, aber gemeint ist sicher '...jede natürliche Zahl a, die bei Addition von 1 einen Übertrag produziert, ...'
Und bei meinem eigenen Text hätte ich noch dazuschreiben sollen: Wenn es überhaupt eine Lösung gibt, gibt es auch eine kleinste Lösung.
Aus der ursprünglichen Überlegung, daß es ohne Übertrag nicht geht, und deinem Ansatz folgt dann, daß die Beispiellösung auch die kleinste ist.
Schöne Restweihnachten noch
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:12 Mo 28.12.2015 | | Autor: | SoWhat |
Puh!
> > > Beachte, dass du jede Zahl [mm]a[/mm] eindeutig darstellen kannst
> > > als [mm]a = x \cdot 10^k + (10^k - 1)[/mm].
Das ist mal eine Aussage. Ich denke mal darüber nach! Danke für das Neugelernte und für die Unterstützung bei der Wheinachtsknobelei ;)
Liebe Grüße
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$k$ ist einfach die Anzahl der Neunen am Ende der Dezimalentwicklung. Diese Anzahl kann 0 oder grösser sein, aber ist für jede Zahl eindeutig gegeben. Die Zehnerstelle von $x$ ist die erste Ziffer in der Dezimalentwicklung von $a$, die keine 9 ist.
