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Ich hoffe, ihr könnt mir bei meiner Aufgabe helfen:
Beweisen oder widerlegen Sie: Die Summer zweier beliebiger ungerader natürlicher Quadratzahlen ist keine Quadratzahl.
So sieht mein Lösungsansatz aus:
25+49 = 74
9+1 = 10
Die Annahme stimmt also. Mein Problem ist jetzt, dass ich nicht weiß, wie ich diese Aussage allgemeingültig beweisen soll. Ich habe schon einer Freundin gehört, dass Quadratzahlen bei Division durch 3 den Rest 1 oder 0 lassen. Ich habe schon versucht, die Annahme durch Gegenbeweis zu beweisen, also indem ich annehme, dass das Ergebnis eine Quadratzahl ist. In dem Beweis würde man dann ja sehen können, dass das nicht stimmt.
Dazu hatte ich mir folgendes überlegt:
n1 und n2 seien zwei beliebige ungerade Quadratzahlen. Dann gilt:
n1 + n2 = 3n+1 bzw. n1 + n2 = 3n
3n+1 bzw. 3n ist die Darstellung für die Quadratzahl: Sie soll ja bei einer Division durch 3 den Rest 1 oder 0 lassen.
Man kann sehen, dass die linke und die rechte Seite nicht identisch sind, also wäre damit eigentlich widerlegt, dass das Ergebnis eine Quadratzahl ist. Aber ist das ein richtiger Beweis? Ich hoffe, dass mir jemand helfen kann. Vielen Dank schon mal im Voraus für die Mühe!!
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:45 So 08.05.2005 | | Autor: | Falballa83 |
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Hallo Stefan,
vielen Dank für deine schnelle Antwort! Ich konnte die Lösungsansätze gut nachvollziehen und habe sie auch verstanden. Mein Problem ist jetzt aber noch, wie ich diese Aussage mit Variablen wie n oder x ausdrücken soll.
Eine ungerade Quadratzahl lässt sich durch 4n+1 ausdrücken oder? (Eine ungerade Quadratzahl lässt ja bei Division durch 4 den Rest 1). Kann ich das dann so ausdrücken:
(4n+1)+(4n+1) = 4n+2 ??
Damit wäre es ja widerlegt, weil ich einen Rest 2 erhalte und nicht 1 oder 0. Das wäre doch dann ein Widerspruch zu meiner vorherigen Annahme:
(4n+1)+(4n+1) = 3n+1 bzw. 3n+0
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:05 So 08.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Falballa!
Eine beliebige natürliche ungerade Zahl kann ich ja darstellen als:
[mm] $z_1 [/mm] \ = \ 2*n+1$ mit $n \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IN$
[/mm]
Damit wird die entsprechenden Quadratzahl:
[mm] $z_1^2 [/mm] \ = \ [mm] (2n+1)^2 [/mm] \ = \ [mm] 4n^2 [/mm] + 4n + 1 \ = \ [mm] 4*(n^2+n) [/mm] + 1$
Daran siehst Du, daß das Quadrat einer ungeraden Zahl immer bei der Division durch 4 den Rest 1 ergibt! [mm] $\red{\star \star \star}$
[/mm]
So, nun addieren wir einfach mal zwei unterschiedlich ungerade Zahlen [mm] $z_1$ [/mm] und [mm] $z_2$ [/mm] und sehen uns das Ergebnis an:
[mm] $z_1 [/mm] \ := \ 2n+1$
[mm] $z_2 [/mm] \ := \ 2k+1$ ($k, n \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IN$)
[/mm]
[mm] $z_1^2 [/mm] + [mm] z_2^2 [/mm] \ = \ [mm] (2n+1)^2 [/mm] + [mm] (2k+1)^2 [/mm] \ = \ ...$
Rechne dies doch mal aus und fasse zusammen, und dann mache Dir klar, welcher Rest bei der Division durch 4 entsteht.
Dies sollte dann in Widerspruch zu der Aussage [mm] $\red{\star \star \star}$ [/mm] stehen und Du hast ein Ergebnis, ob Deine o.g. These stimmt oder nicht.
Hat's nun KLICK gemacht ![[idee]](/images/smileys/idee.gif "[idee]") ??
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:04 So 08.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo zusammen!
Eine kleine Ungenauigkeit:
> Daran siehst Du, daß das Quadrat einer ungeraden Zahl immer
> bei der Division durch 4 den Rest 1 ergibt! [mm]\red{\star \star \star}[/mm]
[...]
> [mm]z_1^2 + z_2^2 \ = \ (2n+1)^2 + (2k+1)^2 \ = \ ...[/mm]
>
> Rechne dies doch mal aus und fasse zusammen, und dann mache
> Dir klar, welcher Rest bei der Division durch 4 entsteht.
>
> Dies sollte dann in Widerspruch zu der Aussage [mm]\red{\star \star \star}[/mm]
Nicht zu der Aussage [mm] $\red{\star \star \star}$, [/mm] sondern zu der Aussage, dass das Quadrat einer natürlichen Zahl bei der Division durch $4$ immer den Rest 1 (bei ungeraden Quadratzahlen) oder 0 (bei geraden Quadratzahlen) lässt. (Und hier käme eh nur der zweite Fall in Betracht...)
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:13 So 08.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stefan!
Danke!
Du hast natürlich wie immer Recht
- wenn es nicht gerade um Fußball geht ![[lol]](/images/smileys/lol.gif "[lol]") - ...
Gruß
Loddar
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![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]"){kind=small}
![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]"){kind=small}
