Zahlen dividieren Teil 2 < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei z1= [mm] 1+\pi [/mm] i , z2= [mm] 1-\pi [/mm] i . Berechnen Sie jeweils Real- und Imaginärteil von
a) z1*z2 b) z1/z2 c) [mm] e^{z1} [/mm] |
Ehm, ja, hört sich ziemlich abgespaced an. Ich blicke leider nicht wirklich durch. Vllt. könnt ihr mir ja weiterhelfen...
Zuerst sollte ich ja für Division und Multiplikation von K-Zahlen die E-Form aufstellen.
|z1| = [mm] \wurzel{1 + \pi^{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{~10,8696} [/mm] = ~3,2969
|z2| = [mm] \wurzel{1 - \pi^{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{-8,8696} [/mm] = [mm] \wurzel{8,8696i^{2}} [/mm] = i * [mm] \wurzel{8,8696} [/mm] = ~2,9782*i
Da kein Phi-Symbol vorhanden ist mein Phi -> [mm] \delta
[/mm]
[mm] \delta1= arctan(\bruch{\pi}{1}) [/mm] = ~ 1,2626rad ... da im 1. quadranten, kein +Pi
[mm] \delta2= arctan(-\bruch{\pi}{1}) [/mm] = ~ -1,2626rad ... da im 4. quadranten, kein +Pi
z1= 3,2969 * [mm] e^{1,2626i}
[/mm]
z2= 2,9782i * [mm] e^{-1,2626i}
[/mm]
Aufgabe a)
z1*z2
3,2969 * [mm] e^{1,2626i} [/mm] * 2,9782i * [mm] e^{-1,2626i}
[/mm]
ab jetzt bin ich mir ziemlich unsicher... rechne ich jetzt Betrag * Betrag und Exponentialteil * Exponentialteil ?
wenn ja, dann:
3,2969 * 2,9782i = ~9,8188i
[mm] e^{1,2626i} [/mm] * [mm] e^{-1,2626i} [/mm] = [mm] e^{(1,2626i+(-1,2626i))} [/mm] = [mm] e^{0} [/mm] = 1
dann wäre das ergebnis ja:
9,8188i * 1 = 9,8188i ...... aber dann würde ja der exponentialteil komplett wegfallen ? und mein betrag enthält ein i ?
Eine zusätzliche Frage noch: Ist es WICHTIG, dass ich bei der E-Form [mm] +2\pi [/mm] immer dazu schreibe? Also gibt es Punktabzug wenn nicht ?
Bevor ich nun weiter mache und noch mehr Fehler einbaue, warte ich erstmal eure Antworten ab. Danke schonmal fürs lesen =)
Gruß Rudi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:11 Mi 14.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Sei z1= [mm]1+\pi[/mm] i , z2= [mm]1-\pi[/mm] i . Berechnen Sie jeweils Real-
> und Imaginärteil von
>
> a) z1*z2 b) z1/z2 c) [mm]e^{z1}[/mm]
> Ehm, ja, hört sich ziemlich abgespaced an. Ich blicke
> leider nicht wirklich durch. Vllt. könnt ihr mir ja
> weiterhelfen...
>
>
> Zuerst sollte ich ja für Division und Multiplikation von
> K-Zahlen die E-Form aufstellen.
Wozu ????
>
> |z1| = [mm]\wurzel{1 + \pi^{2}}[/mm] = [mm]\wurzel{~10,8696}[/mm] = ~3,2969
>
> |z2| = [mm]\wurzel{1 - \pi^{2}}[/mm] = [mm]\wurzel{-8,8696}[/mm] =
> [mm]\wurzel{8,8696i^{2}}[/mm] = i * [mm]\wurzel{8,8696}[/mm] = ~2,9782*i
>
>
> Da kein Phi-Symbol vorhanden ist mein Phi -> [mm]\delta[/mm]
>
> [mm]\delta1= arctan(\bruch{\pi}{1})[/mm] = ~ 1,2626rad ... da im 1.
> quadranten, kein +Pi
>
> [mm]\delta2= arctan(-\bruch{\pi}{1})[/mm] = ~ -1,2626rad ... da im
> 4. quadranten, kein +Pi
>
>
> z1= 3,2969 * [mm]e^{1,2626i}[/mm]
>
> z2= 2,9782i * [mm]e^{-1,2626i}[/mm]
>
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> Aufgabe a)
>
> z1*z2
>
> 3,2969 * [mm]e^{1,2626i}[/mm] * 2,9782i * [mm]e^{-1,2626i}[/mm]
>
> ab jetzt bin ich mir ziemlich unsicher... rechne ich jetzt
> Betrag * Betrag und Exponentialteil * Exponentialteil ?
>
> wenn ja, dann:
>
> 3,2969 * 2,9782i = ~9,8188i
>
> [mm]e^{1,2626i}[/mm] * [mm]e^{-1,2626i}[/mm] = [mm]e^{(1,2626i+(-1,2626i))}[/mm] =
> [mm]e^{0}[/mm] = 1
>
>
> dann wäre das ergebnis ja:
>
> 9,8188i * 1 = 9,8188i ...... aber dann würde ja der
> exponentialteil komplett wegfallen ? und mein betrag
> enthält ein i ?
>
>
> Eine zusätzliche Frage noch: Ist es WICHTIG, dass ich bei
> der E-Form [mm]+2\pi[/mm] immer dazu schreibe? Also gibt es
> Punktabzug wenn nicht ?
>
>
> Bevor ich nun weiter mache und noch mehr Fehler einbaue,
> warte ich erstmal eure Antworten ab. Danke schonmal fürs
> lesen =)
>
>
>
>
> Gruß Rudi
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Zu a)
Multipliziere doch einfach
[mm] $z_1*z_2=(1+ \pi [/mm] i)(1- [mm] \pi [/mm] i)= 1- [mm] \pi i+\pi [/mm] i- [mm] \pi^2*i^2=1+\pi^2, [/mm] $
denn [mm] i^2=-1.
[/mm]
Dann ist [mm] Re(z_1*z_2)=1+\pi^2 [/mm] und [mm] Im(z_1*z_2)=0.
[/mm]
FRED
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Ja hast recht. Weiß nicht merh weshalb, irgendwo habe ich mal gehört man soll für Division und Multiplikation die E-Form nehmen und für + und - die K-Form...
Aber hast recht, wieso sollte ich es mir so schwer machen, wenn einfaches Multiplizieren auch geht =)
Habe es nochmal ausführlich nachgerechnet, ob ich aufs gleiche raus komme...
1- [mm] \pi i+\pi [/mm] i- [mm] \pi^2\cdot{}i^2= [/mm] 1 [mm] -\pi^2\cdot{}i^2 [/mm] = 1 [mm] -\pi^2\cdot{}(-1) [/mm] = 1 + [mm] \pi^2
[/mm]
eine kleine zusatzfrage: wenn ich die klammern löse und am ende i übrig bleiben WÜRDE (hier fällt es ja weg da [mm] i^2) [/mm] , dann ist das mein imaginärteil, richtig ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:32 Mi 14.01.2015 | | Autor: | chrisno |
ja, alles mit einem i. [mm] $\phi$, $\varphi$, $\Phi$, [/mm] alles ist im Angebot, allerdings nicht unbedingt fertig zum klicken. So etwas lässt sich mit Suche nach: phi latex finden.
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> ja, alles mit einem i. [mm]\phi[/mm], [mm]\varphi[/mm], [mm]\Phi[/mm], alles ist im
> Angebot, allerdings nicht unbedingt fertig zum klicken. So
> etwas lässt sich mit Suche nach: phi latex finden.
Sehr nützlich ist auch ![[]](/images/popup.gif) Detexify
Da kann man ein gewünschtes Symbol handschriftlich
eintragen und erhält dann die $\ T_EX$ - codes , die dazu
passen könnten.
LG , Al-Chwarizmi
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> Sei z1= [mm]1+\pi[/mm] i , z2= [mm]1-\pi[/mm] i . Berechnen Sie jeweils Real-
> und Imaginärteil von
>
> a) z1*z2 b) z1/z2 c) [mm]e^{z1}[/mm]
> Ehm, ja, hört sich ziemlich abgespaced an.
> Zuerst sollte ich ja für Division und Multiplikation von
> K-Zahlen die E-Form aufstellen.
Wer hat dir denn das gesagt ???
Ich hoffe doch immerhin, dass dir auch die "stinknormale"
Multiplikation und Division komplexer Zahlen bekannt sein
sollte:
$\ (a+i*b)*(c+i*d)\ =\ (a*c-b*d)+i*( .....\ +\ [mm] .....\,)$
[/mm]
$\ [mm] \frac{a+i*b}{c+i*d}\ [/mm] =\ [mm] \frac{(a+i*b)*(c-i*d)}{(c+i*d)*(c-i*d)}\ [/mm] =\ .......\ $
LG , Al-Chw.
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| Aufgabe | Sei z1= $ [mm] 1+\pi [/mm] $ i , z2= $ [mm] 1-\pi [/mm] $ i . Berechnen Sie jeweils Real- und Imaginärteil von
c) $ [mm] e^{z1} [/mm] $ |
So, nun kommt die für mich schwierigste Aufgabe.
Wie gehe ich an diese heran ?
[mm] e^{z1} [/mm] = [mm] e^{1+i \pi} [/mm] = was muss ich nun tun ?!? das ist ja keine E-Form die ich einfach in K-Form umwandeln kann ?!?...
muss ich da irgendwie mit dem Ln arbeiten ?
Gruß Rudi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:04 Do 15.01.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
denk an [mm] e^{a+b}=e^a*e^b
[/mm]
Gruß leduart
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ok, das hilft mir ein klein wenig weiter =)
[mm] e^{1} [/mm] * [mm] e^{i\pi} [/mm] = e * [mm] e^{i\pi} [/mm] = auf gut deutsch....e ist mein betrag...
also mit hilfe der polarform:
e * (cos(Phi)+i*sin(Phi))
nun einsetzen und ausmultiplizieren
e*cos(Pi) + e*sin(Pi)i
-2,7182 Realteil
0i Imaginärteil...also gibt es keinen imaginärteil ?!?
gruß rudi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:04 Mi 28.01.2015 | | Autor: | chrisno |
>
> -2,7182 Realteil
Das ist eine Näherung, nicht die Lösung.
>
> 0i Imaginärteil...also gibt es keinen imaginärteil ?!?
Ja
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Du sagtest, es sei nur eine Näherung...also soll ich lieber
Realteil = ~ -2,7182 schreiben ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:21 Do 29.01.2015 | | Autor: | chrisno |
Du musst wissen, wie das bei Euch bewertet wird. Es gruselt einen Mathematiker, wenn eine Dezimalzahl angegeben wird, obwohl da eine der wichtigsten Zahlen der Mathematik steht.
Eine Schreibweise wäre [mm] Re($e^{z_1}$) [/mm] = -e.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:22 Do 29.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> ok, das hilft mir ein klein wenig weiter =)
>
> [mm]e^{1}[/mm] * [mm]e^{i\pi}[/mm] = e * [mm]e^{i\pi}[/mm] = auf gut deutsch....e ist
> mein betrag...
>
>
> also mit hilfe der polarform:
>
> e * (cos(Phi)+i*sin(Phi))
>
> nun einsetzen und ausmultiplizieren
>
>
> e*cos(Pi) + e*sin(Pi)i
>
> -2,7182 Realteil
Dazu hat chrisno schon etwas gesagt.
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> 0i Imaginärteil...also gibt es keinen imaginärteil ?!?
Doch es gibt einen ! der Imaginärteil ist =0.
FRED
>
> gruß rudi
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ok, also bleibe ich lieber bei brüchen statt dezimal.
und ja, das meinte ich ja, imaginärteil = 0
vielen dank euch !
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