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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:19 Di 12.02.2008 | | Autor: | DaMazen |
| Aufgabe | Für jede Zahl t [mm] \in \{ 11, 12, 13, 14, 15\} [/mm] gebe man durch eine durch t teilbare natürliche Zahl an, deren Darstellung im Zehnersystem aus lauter gleichen Ziffern besteht.
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Durch Testen und ein wenig überlegen über Teiler und so bin ich auf die Ergebnisse gekommen:
11 | 111 111
12 | 444
13 | 111 111
14 | 222 222
15 | 555
Gibt es auch eine schöne Möglichkeit dieses herauszubekommen, also ohne testen? Vielleicht über Stellenwertsysteme oder so was?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:40 Di 12.02.2008 | | Autor: | abakus |
> Für jede Zahl t [mm]\in \{ 11, 12, 13, 14, 15\}[/mm] gebe man durch
> eine durch t teilbare natürliche Zahl an, deren
> Darstellung im Zehnersystem aus lauter gleichen Ziffern
> besteht.
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> Durch Testen und ein wenig überlegen über Teiler und so bin
> ich auf die Ergebnisse gekommen:
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> 11 | 111 111
> 12 | 444
> 13 | 111 111
> 14 | 222 222
> 15 | 555
>
> Gibt es auch eine schöne Möglichkeit dieses
> herauszubekommen, also ohne testen? Vielleicht über
> Stellenwertsysteme oder so was?
Es geht über Teilbarkeitsregeln und Reste:
- Eine Zahl ist durch 11 teilbar ganau dann wenn ihre alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist.
- Eine Zahl ist durch 12 teilbar genau dann wenn sie durch 3 (Quersumme!) und durch 4 teilbar ist.
- [mm] 1000\equiv [/mm] -1 mod 13
- Eine Zahl is durch 14 teibar, wenn sie durch 2 und durch 7 teilbar ist (Beachte: [mm] 1000\equiv [/mm] -1 mod 7 )
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