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| Aufgabe | | Addiere zuerst sieben, danach acht und dann neun aufeinander folgende ganze positive Zahlen. Alle Folgen erziehlen das gleiche Ergebnis. Um welche Zahlen handelt es sich, wenn es der kleinste Wer ist, den man so erzielen kann? |
Ich habe mir bereits folgendes überlegt:
Zahlenfolge 1: x = 7n+ 21
Zahlenfolge 2: x = 8m+ 28
Zahlenfolge 3: x = 9l + 36
Bisher habe ich versucht immer zwei Gleichungen gleichzusetzen und dann in die anderen einzsetzen aber da dreh ich mich nur im Kreis... eigentlich hört sich die Aufgabe einfach an, aber irgendwie hat sie es in sich!
Hat jemand eine zündende Idee? Ich wäre wirklich dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:11 Fr 23.09.2011 | | Autor: | luis52 |
> Addiere zuerst sieben, danach acht und dann neun
> aufeinander folgende ganze positive Zahlen. Alle Folgen
> erziehlen das gleiche Ergebnis. Um welche Zahlen handelt es
> sich, wenn es der kleinste Wer ist, den man so erzielen
> kann?
> Ich habe mir bereits folgendes überlegt:
> Zahlenfolge 1: x = 7n+ 21
> Zahlenfolge 2: x = 8m+ 28
> Zahlenfolge 3: x = 9l + 36
>
> Bisher habe ich versucht immer zwei Gleichungen
> gleichzusetzen und dann in die anderen einzsetzen aber da
> dreh ich mich nur im Kreis... eigentlich hört sich die
> Aufgabe einfach an, aber irgendwie hat sie es in sich!
>
> Hat jemand eine zündende Idee? Ich wäre wirklich dankbar!
Moin,
ich sehe drei Gleichungen mit drei Unbekannten:
(I) x = 7n+ 21
(II) x = 8m+ 28
(III) x = 9l + 36
Also (I)=(II), (II)=(III), (III)=(I).
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:48 Fr 23.09.2011 | | Autor: | reverend |
Moin Luis,
> ich sehe drei Gleichungen mit drei Unbekannten:
>
> (I) x = 7n+ 21
> (II) x = 8m+ 28
> (III) x = 9l + 36
Ich sehe drei Gleichungen mit vier Unbekannten. Deswegen klingt wohl auch die Aufgabe schon so, als gäbe es mehrere Lösungen.
Aus (I)=(II) erfährt man aber z.B., dass m durch 7 teilbar sein muss und bei Teilung durch 8 den Rest 1 lässt.
Grüße
reverend
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Danke!
So weit war ich auch schon =)
dann bekommt man für n = t, m = (-7-7t)/8 und für l = -7/9t-5/3
aber wie bekommt man daraus natürliche Zahlen? Durch die negativen Werte bleiben m un l nagativ, egal was man für n=t einsetzt...
Was nun?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:05 Fr 23.09.2011 | | Autor: | fred97 |
> Danke!
> So weit war ich auch schon =)
> dann bekommt man für n = t, m = (-7-7t)/8
Das stimmt doch nicht. Richtig: m = (-7+7t)/8
> und für l = -7/9t-5/3
Das stimmt auch nicht
FRED
> aber wie bekommt man daraus natürliche Zahlen? Durch die
> negativen Werte bleiben m un l nagativ, egal was man für
> n=t einsetzt...
> Was nun?
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Oh, sorry, da haben sich wohl zu viele - eingeschlichen.
m = 7/8 t -7/8 und l = 7/9 t-15/9
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:23 Fr 23.09.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das sieht schon besser aus.
Wenn du jetzt die Gleichungen so umschreibst, dass die Brüche verschwinden, kannst du mit natürlichen Zahlen arbeiten.
m=7/8t-7/8
<=> 8m=7t-7
<=> 8m=7(t-1)
Und:
l=7/9t-15/9
<=> 9l=7t-15
<=> 9l=7(t-2)-1
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:21 Fr 23.09.2011 | | Autor: | luis52 |
> Moin Luis,
>
> > ich sehe drei Gleichungen mit drei Unbekannten:
> >
> > (I) x = 7n+ 21
> > (II) x = 8m+ 28
> > (III) x = 9l + 36
>
> Ich sehe drei Gleichungen mit vier Unbekannten.
@reverend: Drei Gleichungen
$7n+21=8m+28, 8m+28=9l+36,9l+36=7n+36$
mit *drei* Unbekannten schliessen nicht aus, dass die Loesungsmenge aus unendlich vielen Elementen besteht, gell. 
vg Luis
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Aber gesucht ist die kleinste Lösung.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:43 Fr 23.09.2011 | | Autor: | luis52 |
> Aber gesucht ist die kleinste Lösung.
Na dann bestimme doch mal die Loesungsmenge explizit. Vielleicht sieht man da ja was ...
vg luis
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[mm] \IL= \{(7/9 t -5/3, 7/8 t - 7/8, t) | t \in \IN \}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:08 Fr 23.09.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> [mm]\IL= \{(7/9 t -5/3, 7/8 t - 7/8, t) | t \in \IN \}[/mm]
Nun bestimme das t, für dass alle Zahlen aus [mm] \IN [/mm] stammen, dazu schau dir mal meine Antwort aus diesem Diskussionsstrang an.
Bestimme [mm] t_{1} [/mm] als das Minimum der Zahlen, so dass
[mm] \frac{7}{9}t_{1}-\frac{5}{3}:=p\in\IN [/mm]
Dazu forme im, wie ich es in der anderen Antwort gemacht habe.
Bestimme analog die [mm] t_{i} [/mm] die die anderen beiden Lösungsparameter zu natürlichen Zahlen machen die engültige Lösung y ist dann:
[mm] y=kgV(t_{1},t_{2} t_{3})
[/mm]
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:08 Fr 23.09.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Addiere zuerst sieben, danach acht und dann neun
> aufeinander folgende ganze positive Zahlen. Alle Folgen
> erziehlen das gleiche Ergebnis. Um welche Zahlen handelt es
> sich, wenn es der kleinste Wer ist, den man so erzielen
> kann?
> Ich habe mir bereits folgendes überlegt:
> Zahlenfolge 1: x = 7n+ 21
> Zahlenfolge 2: x = 8m+ 28
> Zahlenfolge 3: x = 9l + 36
Da steht doch
$x [mm] \equiv [/mm] 21 [mm] \pmod{7}$
[/mm]
$x [mm] \equiv [/mm] 28 [mm] \pmod{8}$
[/mm]
$x [mm] \equiv [/mm] 36 [mm] \pmod{9}$
[/mm]
Du kannst alle $x$, fuer die dies gilt, mit dem chinesischen Restsatz bestimmen. Dann kannst du auch schnell herausfinden, wie das kleinste $x$ aussieht, was du mit (nicht-negativen oder positiven) $n, m, l$ erreichen kannst. (Naemlich das kleinste $x$, was die Kongruenzen erfuellt und [mm] $\ge \max\{ 21, 28, 36 \}$ [/mm] bzw. [mm] $\ge \max\{ 21 + 7, 28 + 8, 36 + 9 \}$ [/mm] ist).
LG Felix
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Danke für die Hilfe, leider steh ich wohl ziemlich auf dem Schlauch!
Ich habe leider keinen der Tipps verstanden.
Durch ausprobieren habe ich herausgefunden, dass
l=24, m=28 udn n=33 sein muss.
Leider sehr unmathematisch =(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:41 Fr 23.09.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Danke für die Hilfe, leider steh ich wohl ziemlich auf dem
> Schlauch!
> Ich habe leider keinen der Tipps verstanden.
Das ist jetzt aber sehr unkonkret. Da du vor ueber einem Jahr schonmal nach Galoisgruppen gefragt hast, hast du offenbar schon einige fortgeschrittene Vorlesungen besucht und solltest sowohl den Chinesischen Restsatz (Einfuehrung in die Algebra) kennen, sowie auch die andere Loesung (die bereits fuer Schueler verstaendlich sein sollte) nachvollziehen koennen. Und insbesondere solltest du wissen, dass eine so allgemeine, nichtssagende Aussage wie "Ich hab nichts verstanden" niemanden weiterhilft - weder dir noch uns.
Sag doch bitte genauer, was du nicht verstanden hast.
LG Felix
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