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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:08 Do 04.10.2012 | | Autor: | Maurizz |
| Aufgabe | Es sei die rekursiv definierte Folge [mm] a_{1} [/mm] = 1;
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \wurzel{1+\bruch{1}{n}a_{n}^{2}}-1 [/mm] mit [mm] n\varepsilon\IN. [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
[mm] a_{1} [/mm] = 1; --> Das hier ist quasi gegeben das wenn n=1 eben a=1 ist nicht wahr? Dieses Ergebnis hat also nichts zu tun mit dem Ausdruck von [mm] a_{n+1}. [/mm] Denn [mm] a_{n+1} [/mm] is ja die Summe einer Folge einzelner Werte bis zum Wert [mm] a_{n+i} [/mm] wobei [mm] i\varepsilon\IN [/mm] die momentane Grenze ist die ich gerade betrachte, also z.b i=5 also 5 Folgen entfernt vom Ursprung.
Gut also jetzt was mich verwundert:
[mm] a_{2} [/mm] = [mm] \wurzel{2}-1
[/mm]
Wenn ich in [mm] a_{n+1} [/mm] (also dem Ausdruck rechts) für n = 2 wähle kommt etwas vollkommen anderes. Da es eine Folge ist, kann es ja sein das ich [mm] a_{1} [/mm] verwenden muss um mit [mm] a_{2} [/mm] auf [mm] \wurzel{2}-1 [/mm] zu kommen. Vielleicht interpretiere ich auch das Argument an sich vollkommen falsch d.h das [mm] a_{n} [/mm] unter der Wurzel. Ich übersehe eine Kleinigkeit da bin ich mir sehr sicher.. denn bei "leichteren" Folgen lief bisher alles glatt.
Also meine Frage ist wie entsteht aus [mm] a_{2} \wurzel{2}-1
[/mm]
und aus [mm] a_{3} \wurzel{1+\bruch{2-2\wurzel{2}+1}{2}}-1
[/mm]
Ich bin eben noch ein blutiger Anfänger:)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Do 04.10.2012 | | Autor: | Maurizz |
Ach na sowas... :)
Dann ist also bei einer rekursiven Folge nicht [mm] a_{1} [/mm] der "eigentliche" Startpunkt sondern [mm] a_{n+1} [/mm] und [mm] a_{1} [/mm] der Startwert weil es ja eine rekursive Folge ist also eine Folge die auf ein bestimmten bzw. bestimmte Werte immerwieder zurückkehrt.
Das würde heißen das ich bei [mm] a_{3} [/mm] natürlich keine 3 einsetze sondern eben eine 2 die ja wegen dem +1 als [mm] a_{3} [/mm] bezeichnet wird.
Das würde jetz aber heißen das ich [mm] \wurzel{1+\bruch{1}{2}*4} [/mm] -1 hätte und daraus folgt wirklich [mm] \wurzel{1+\bruch{2-2\wurzel{2}+1}
{2}}-1 [/mm] ...O.O? Das muss ich jetzt nicht unbedingt verstehen als Informatiker oder?
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Hallo Maurizz,
> Ach na sowas... :)
> Dann ist also bei einer rekursiven Folge nicht [mm]a_{1}[/mm] der
> "eigentliche" Startpunkt sondern [mm]a_{n+1}[/mm] und [mm]a_{1}[/mm] der
> Startwert weil es ja eine rekursive Folge ist also eine
> Folge die auf ein bestimmten bzw. bestimmte Werte
> immerwieder zurückkehrt.
Was du mit "eigentlich" meinst, sei mal dahingestellt... 
Gegebener Startwert dieser Folge ist: [mm] $a_1=1$
[/mm]
Das erste Glied der Folge, das über die Rekursionsformel berechnet wird, ist somit [mm] $a_2 [/mm] = [mm] \wurzel{2}-1$. [/mm] (Ich nehme mal an, das ist es, was du mit "eigentlich" meintest...)
> Das würde heißen das ich bei [mm]a_{3}[/mm] natürlich keine 3
> einsetze sondern eben eine 2 die ja wegen dem +1 als [mm]a_{3}[/mm]
> bezeichnet wird.
Berechnung von [mm] a_3 [/mm] :
Gemäß der Rekursionsformel gilt jetzt: 3 = n+1
Und somit: n = 2. (![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das hast du richtig erkannt.)
Somit ergibt sich:
[mm] $a_3 [/mm] = [mm] \wurzel{1+\bruch{a_{2}^{2}}{2}}-1 [/mm] = [mm] \wurzel{1+\bruch{(\wurzel{2}-1)^{2}}{2}}-1 [/mm] = ... $
Hast du es verstanden?
Schöne Grüße
franzzink
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:12 Do 04.10.2012 | | Autor: | Maurizz |
Ja das [mm] a_{n} [/mm] unter der Wurzel wird bei [mm] a_{3} [/mm] zu [mm] a_{2} [/mm] und anschließend aufgrund der Potenz zu einem Binom und der Rest is verständlich.
Vielen Dank der Knoten ist bei mir nun weg:)
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![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]"){kind=small}
