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Forum "Folgen und Reihen" - Zahlenfolgen und Konvergenz
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Zahlenfolgen und Konvergenz: Konvergenz einer Zahlenfolge
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:36 Do 28.12.2006
Autor: RalU

Aufgabe
Untersuchen Sie die Zahlenfolgen auf Konvergenz:

a) [mm] an=\wurzel{4n^{2}+n}-\wurzel{4n^{2}-n} [/mm]

Mein Ansatz war, den Ausruck so zu erweitern, dass man in ihm die 3. Binomische Formel anwenden kann ( [mm] (a+b)*(a-b)=a^{2}-b^{2}). [/mm]

Ich betrachte also den Ausdruck und erweitere mit [mm] \bruch{\wurzel{4n^{2}+n}+\wurzel{4n^{2}-n}}{\wurzel{4n^{2}+n}+\wurzel{4n^{2}-n}} [/mm]

Also steht dann da für meinen Grenzwert:

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}=(\wurzel{4n^{2}+n}-\wurzel{4n^{2}-n})*(\bruch{\wurzel{4n^{2}+n}+\wurzel{4n^{2}-n}}{\wurzel{4n^{2}+n}+\wurzel{4n^{2}-n}}) [/mm]

daraus folgt dann (wegen [mm] a^{2}-b^{2}): [/mm]

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}=\bruch{4n^{2}+n-4n^{2}-n-4n^{2}+n+4n^{2}-n}{\wurzel{4n^{2}+n}+\wurzel{4n^{2}-n}} [/mm]


Wenn ich das jetz weiter zusammenfasse, erhalte ich im Zähler 0.
Also wäre auch mein Grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}= [/mm] 0, also Endergebnis konvergent gegen 0.

allerdings weiß ich nicht, ob das korrekt ist. Wenn nicht, wo liegt mein Fehler?

        
Bezug
Zahlenfolgen und Konvergenz: Vorzeichenfehler
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:44 Do 28.12.2006
Autor: Loddar

Hallo RalU!


Du machst einen Vorzeichenfehler bei der Anwendung der 3. binomischen Formel im Zähler:

[mm] $\left( \ \wurzel{4n^2+n}-\wurzel{4n^2-n} \ \right)*\left( \ \wurzel{4n^2+n}+\wurzel{4n^2-n} \ \right) [/mm] \ = \ [mm] \left( \ \wurzel{4n^2+n} \ \right)^2 [/mm] - [mm] \left( \ \wurzel{4n^2-n} \ \right)^2 [/mm]  \ = \ [mm] \left( \ 4n^2+n \ \right) [/mm] - [mm] \left( \ 4n^2-n \ \right) [/mm]  \ = \ [mm] 4n^2+n-4n^2 [/mm] \ [mm] \red{+} [/mm] \ n  \ = \ 2n$


Nun im Nenner $n \ = \ [mm] \wurzel{n^2}$ [/mm] ausklammern und kürzen ...


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Zahlenfolgen und Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:42 Do 28.12.2006
Autor: RalU

Aufgabe
ok, meinen Vorzeichenfehler hab ich eingesehen. Aber mit dem kürzen hab ich Probleme.

Ich habe also nach dem Zusammenfassen zunächst da stehen:

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}=\bruch{2n}{\wurzel{4n^{2}+n}+\wurzel{4n^{2}-n}} [/mm]

Jetzt klammer ich, wie du sagst, [mm] \wurzel{n} [/mm] im Nenner aus:

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}=\bruch{2n}{\wurzel{n^{2}}*(2+\bruch{1}{n})+\wurzel{n^{2}}*(2-\bruch{1}{n})} [/mm]

weiter:

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}=\bruch{2n}{n*(2+\bruch{1}{n})+n*(2-\bruch{1}{n})} [/mm]

weiter:

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}=\bruch{2n}{2n+1+2n-1} [/mm]

weiter:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}=\bruch{2n}{4n} [/mm]

weiter:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}=\bruch{1}{2} [/mm]



oder muss ich zu Beginn schreiben:

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}=\bruch{2n}{\wurzel{n^{2}*(4+\bruch{1}{n})}+\wurzel{n^{2}*(4-\bruch{1}{n})}} [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Zahlenfolgen und Konvergenz: Dein 2. Ansatz
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:45 Do 28.12.2006
Autor: Loddar

Hallo RalU!


> oder muss ich zu Beginn schreiben:  [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}=\bruch{2n}{\wurzel{n^{2}*(4+\bruch{1}{n})}+\wurzel{n^{2}*(4-\bruch{1}{n})}}[/mm]

[ok] Das sieht schon viiieeell besser aus als der andere "Rechen"weg.


Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
Zahlenfolgen und Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:14 Do 28.12.2006
Autor: RalU

Aufgabe
ok, dann mach ich mal da weiter...

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}=\bruch{2n}{\wurzel{n^{2}(4+\bruch{1}{n})}+\wurzel{n^{2}(4-\bruch{1}{n})}} [/mm]

[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}=\bruch{2n}{n*\wurzel{(4+\bruch{1}{n})}+n*\wurzel{(4-\bruch{1}{n})}}= [/mm]

[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}=\bruch{2n}{2n+\wurzel{(\bruch{1}{n})}+2n-\wurzel{(\bruch{1}{n})}}= [/mm]

[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}=\bruch{2n}{4n} [/mm]

[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}=\bruch{1}{2} [/mm]

so korrekt?

Bezug
                                        
Bezug
Zahlenfolgen und Konvergenz: Fehler!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:40 Do 28.12.2006
Autor: Loddar

Hallo RalU!


Du kannst doch nicht einfach aus Summen und Differenzen gliedweise die Wurzel ziehen ... *grusel* (auch wenn das Endergebnis hier zufällig richtig ist).


> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}=\bruch{2n}{n*\wurzel{(4+\bruch{1}{n})}+n*\wurzel{(4-\bruch{1}{n})}}=[/mm]

[mm]... \ = \ \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2n}{n*\left( \ \wurzel{4+\bruch{1}{n}}+\wurzel{4-\bruch{1}{n}} \ \right)} \ = \ \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2}{\wurzel{4+\bruch{1}{n}}+\wurzel{4-\bruch{1}{n}}} [/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)



Und nun die Grenzwertbetrachtung $n\rightarrow\infty}$ ...


Gruß
Loddar


Bezug
                                                
Bezug
Zahlenfolgen und Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:01 Do 28.12.2006
Autor: RalU

Aufgabe
ok, gliedweise die Wurzel ziehen ist nicht in Ordnung.

am Ende steht doch da:

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2n}{n\cdot{}\left( \ \wurzel{4+\bruch{1}{n}}+\wurzel{4-\bruch{1}{n}} \ \right)} [/mm] \ = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2}{\wurzel{4+\bruch{1}{n}}+\wurzel{4-\bruch{1}{n}}} [/mm]

und weil [mm] \bruch{1}{n} [/mm] jeweils gegen 0 geht, für n-> [mm] \infty, [/mm] erhalte ich da quasi [mm] \bruch{2n}{\wurzel{4}*\wurzel{4}} [/mm] und deshalb:

[mm] \bruch{2}{4}=\bruch{1}{2} [/mm]

anders kann ich mir die Grenzwertbetrachtung hier nicht vorstellen, weil weiter vereinfachen des Ausdrucks kann man ja scheinbar nicht.

Bezug
                                                        
Bezug
Zahlenfolgen und Konvergenz: nicht ganz!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:12 Do 28.12.2006
Autor: Loddar

Hallo RalU!


> ok, gliedweise die Wurzel ziehen ist nicht in Ordnung.

Nein, ist es nie!!


>  am Ende steht doch da:
>  
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2n}{n\cdot{}\left( \ \wurzel{4+\bruch{1}{n}}+\wurzel{4-\bruch{1}{n}} \ \right)}[/mm]  = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{2}{\wurzel{4+\bruch{1}{n}}+\wurzel{4-\bruch{1}{n}}}[/mm]

[ok]

  

> und weil [mm]\bruch{1}{n}[/mm] jeweils gegen 0 geht, für n-> [mm]\infty,[/mm]

[ok]


> erhalte ich da quasi [mm]\bruch{2n}{\wurzel{4}*\wurzel{4}}[/mm]

[notok] Nicht ganz. Es entsteht: [mm] $\bruch{2}{\wurzel{4} \ \red{+} \ \wurzel{4}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{2*\wurzel{4}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{4}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}$ [/mm]


Gruß
Loddar


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