Zahlentheoretische Funktionen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:45 Fr 04.09.2009 | | Autor: | Leni-H |
| Aufgabe | | z.z: [mm] (-1)^{\Omega(n)} [/mm] = [mm] \summe_{d^{2} | n}^{} \mu (\bruch{n}{d^{2}}) [/mm] |
Hallo,
ich muss oben stehende Identität zeigen. Ich hab es schon geschafft zu zeigen, dass die Identität für Primzahlpotenzen gilt. Dies würde ja auch ausreichen, wenn beide Seiten multiplikativ wären. Die linke Seite ist ja auf jeden Fall multiplikativ, weil [mm] \Omega(n) [/mm] ja additiv ist. Aber wie kann man zeigen, dass die rechte Seite multiplikativ ist?
Liebe Grüße!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:17 Fr 04.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo
> z.z: [mm](-1)^{\Omega(n)}[/mm] = [mm]\summe_{d^{2} | n}^{} \mu (\bruch{n}{d^{2}})[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich muss oben stehende Identität zeigen. Ich hab es schon
> geschafft zu zeigen, dass die Identität für
> Primzahlpotenzen gilt. Dies würde ja auch ausreichen, wenn
> beide Seiten multiplikativ wären.
Ja.
> Die linke Seite ist ja
> auf jeden Fall multiplikativ, weil [mm]\Omega(n)[/mm] ja additiv
> ist.
Ja.
> Aber wie kann man zeigen, dass die rechte Seite
> multiplikativ ist?
Beachte: wenn $n, m$ teilerfremd sind, gibt es eine Bijektion $d [mm] \leftrightarrow (d', d'')$ fuer die $d$ mit $d^2 \mid n m$ und die $d', d''$ mit $(d')^2 \mid n$, $(d'')^2 \mid m$.
Du hast also $\sum_{d^2 \mid m n} f(d) = \sum_{(d')^2 \mid n} \sum_{(d'')^2 \mid m} f(d d')$.
(Bei dir ist $f(x) = \mu(n m / x^2)$.)
Jetzt beachte, dass $\mu$ multiplikativ ist und dass $\frac{n}{d'}$ und $\frac{m}{d''}$ ebenfalls teilerfremd sind.
LG Felix
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 So 06.09.2009 | | Autor: | Leni-H |
> Hallo
>
> > z.z: [mm](-1)^{\Omega(n)}[/mm] = [mm]\summe_{d^{2} | n}^{} \mu (\bruch{n}{d^{2}})[/mm]
>
> >
> > Hallo,
> >
> > ich muss oben stehende Identität zeigen. Ich hab es schon
> > geschafft zu zeigen, dass die Identität für
> > Primzahlpotenzen gilt. Dies würde ja auch ausreichen, wenn
> > beide Seiten multiplikativ wären.
>
> Ja.
>
> > Die linke Seite ist ja
> > auf jeden Fall multiplikativ, weil [mm]\Omega(n)[/mm] ja additiv
> > ist.
>
> Ja.
>
> > Aber wie kann man zeigen, dass die rechte Seite
> > multiplikativ ist?
>
> Beachte: wenn [mm]n, m[/mm] teilerfremd sind, gibt es eine Bijektion
> [mm]d \leftrightarrow (d', d'')[/mm] fuer die [mm]d[/mm] mit [mm]d^2 \mid n m[/mm] und
> die [mm]d', d''[/mm] mit [mm](d')^2 \mid n[/mm], [mm](d'')^2 \mid m[/mm].
>
> Du hast also [mm]\sum_{d^2 \mid m n} f(d) = \sum_{(d')^2 \mid n} \sum_{(d'')^2 \mid m} f(d d')[/mm].
>
> (Bei dir ist [mm]f(x) = \mu(n m / x^2)[/mm].)
>
> Jetzt beachte, dass [mm]\mu[/mm] multiplikativ ist und dass
> [mm]\frac{n}{d'}[/mm] und [mm]\frac{m}{d''}[/mm] ebenfalls teilerfremd sind.
>
> LG Felix
>
Ok vielen Dank. Aber woher weiß ich denn, dass [mm]\frac{n}{d'}[/mm] und [mm]\frac{m}{d''}[/mm] ebenfalls teilerfremd sind?
Kann man die Multiplikativität auch so beweisen?:
Also man weiß, dass [mm] \mu [/mm] und die Funktion [mm] \I1 [/mm] multiplikativ sind. Dann ist auch das Faltprodukt [mm] (\I1 [/mm] * [mm] \mu) [/mm] = [mm] \summe_{d|n}^{} \mu (\bruch{n}{d}) [/mm] multiplikativ. Und somit ist dann auch die geforderte Funktion multiplikativ, da hier ja nur diejenigen Teiler berücksichtigt werden, die Quadrate sind und die Funktion ja schon für alle Teiler multiplikativ ist.
Kann man das so begründen?
LG!!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:19 So 06.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ok vielen Dank. Aber woher weiß ich denn, dass
> [mm]\frac{n}{d'}[/mm] und [mm]\frac{m}{d''}[/mm] ebenfalls teilerfremd sind?
Wenn $t$ ein gemeinsamer Teiler von [mm] $\frac{n}{d'}$ [/mm] und [mm] $\frac{m}{d''}$ [/mm] ist, dann ist er auch einer von $n$ und $m$. Und da $n$ und $m$ teilerfremd sind, muss $t = [mm] \pm [/mm] 1$ sein. Damit sind [mm] $\frac{n}{d'}$ [/mm] und [mm] $\frac{m}{d''}$ [/mm] auch teilerfremd.
> Kann man die Multiplikativität auch so beweisen?:
>
> Also man weiß, dass [mm]\mu[/mm] und die Funktion [mm]\I1[/mm] multiplikativ
> sind. Dann ist auch das Faltprodukt [mm](\I1[/mm] * [mm]\mu)[/mm] =
> [mm]\summe_{d|n}^{} \mu (\bruch{n}{d})[/mm] multiplikativ. Und somit
> ist dann auch die geforderte Funktion multiplikativ, da
> hier ja nur diejenigen Teiler berücksichtigt werden, die
> Quadrate sind und die Funktion ja schon für alle Teiler
> multiplikativ ist.
Naja, du hast das eine Summe von Funktionen multiplikativ ist, und laesst einfach ein paar Summanden weg... Warum sollte es dann immer noch multiplikativ sein?
Das musst du schon genauer begruenden...
LG Felix
|
|
|
|
