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| Aufgabe | Sei [mm]f,g: \IR \to \IR[/mm] zwei stetige Funktionen.
Zeigen Sie: Ist f(x) = g(x) für alle [mm]x \in \IQ[/mm], dann gilt sogar f(x) = g(x) für alle [mm]x \in \IR[/mm]. Die Werte der stetigen Funktion [mm]f : \IR \to \IR[/mm] sind also so stark aneinander gebunden, dass f bereits durch ihre Werte in den rationalen Punkten völlig eindeutig bestimmt ist. |
Hallo Gemeinde!
Ich habe versucht, das Ganze wie folgt zu zeigen. Ist das soweit okay?
Es gibt eine Folge [mm](a_n)_n[/mm] in [mm]\IQ[/mm] mit [mm](a_n)_n \to x[/mm] .
Aus der Stetigkeit von f und g folgt dann [mm](f(a_n))_n \to f(x)[/mm] und [mm](g(a_n))_n \to g(x)[/mm] .
Die Folgen [mm](f(a_n))_n[/mm] und [mm](g(a_n))_n[/mm] sind nach Voraussetzung gleich, sodass auch f(x) und g(x) aufgrund der Eindeutigkeit des Grenzwertes gleich sind. [mm]\square[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:59 Di 20.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]f,g: \IR \to \IR[/mm] zwei stetige Funktionen.
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> Zeigen Sie: Ist f(x) = g(x) für alle [mm]x \in \IQ[/mm], dann gilt
> sogar f(x) = g(x) für alle [mm]x \in \IR[/mm]. Die Werte der
> stetigen Funktion [mm]f : \IR \to \IR[/mm] sind also so stark
> aneinander gebunden, dass f bereits durch ihre Werte in den
> rationalen Punkten völlig eindeutig bestimmt ist.
>
>
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> Hallo Gemeinde!
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> Ich habe versucht, das Ganze wie folgt zu zeigen. Ist das
> soweit okay?
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> Es gibt eine Folge [mm](a_n)_n[/mm] in [mm]\IQ[/mm] mit [mm](a_n)_n \to x[/mm] .
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> Aus der Stetigkeit von f und g folgt dann [mm](f(a_n))_n \to f(x)[/mm]
> und [mm](g(a_n))_n \to g(x)[/mm] .
>
> Die Folgen [mm](f(a_n))_n[/mm] und [mm](g(a_n))_n[/mm] sind nach
> Voraussetzung gleich, sodass auch f(x) und g(x) aufgrund
> der Eindeutigkeit des Grenzwertes gleich sind. [mm]\square[/mm]
>
Ja, alles bestens
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:06 Di 20.11.2012 | | Autor: | Apfelchips |
Toll, das freut mich sehr!
Besten Dank, FRED!
Gruß
Patrick
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