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Forum "Wahrscheinlichkeitsrechnung" - Zeige, dass Menge Mass 1 hat
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Zeige, dass Menge Mass 1 hat: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:22 Fr 24.02.2012
Autor: kalor

Hallo zusammen

Eine Frage, wenn ich eine nicht negative Zufallsvariable $X$ habe, die eine stetige Dichte hat, definiere ich für [mm] $s\ge [/mm] 0$  

[mm]Y_s(\omega)=\begin{cases} 0, & X\not= s \\ 1, & X=s\end{cases} [/mm]

dann will ich zeigen:

1. [mm]P(0=Y_s) = 1 \forall s [/mm]
2. [mm]P(0=Y_s;\forall s) = 0 [/mm]

Zu 1) habe ich:

[mm]P(0=Y_s) =1-P(X = s) = 1- \int_{X=s}f_{X}(y) dy=1-\int_{\{s\}}f_X (y)dy [/mm]

und nun hätte ich gesagt, dass die Menge [mm] $\{X=s\}=\{s\} [/mm] $ eine Nullmenge ist und daher gilt 1. Stimmt dies?

Ich sehe aber nicht ein, wie ich bei 2. einsehe, dass das Integral 1 ist.

Danke für die Hilfe

Gruss

kAloR

        
Bezug
Zeige, dass Menge Mass 1 hat: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:47 Fr 24.02.2012
Autor: kamaleonti

Hallo kalor,
> Hallo zusammen
>  
> Eine Frage, wenn ich eine nicht negative Zufallsvariable [mm]X[/mm]
> habe, die eine stetige Dichte hat, definiere ich für [mm]s\ge 0[/mm]
>  
>
> [mm]Y_s(\omega)=\begin{cases} 0, & X\not= s \\ 1, & X=s\end{cases}[/mm]
>  
> dann will ich zeigen:
>  
> 1. [mm]P(0=Y_s) = 1 \forall s[/mm]
>  2. [mm]P(0=Y_s;\forall s) = 0[/mm]
>  
> Zu 1) habe ich:
>  
> [mm]P(0=Y_s) =1-P(X = s) = 1- \int_{X=s}f_{X}(y) dy=1-\int_{\{s\}}f_X (y)dy[/mm]
>  
> und nun hätte ich gesagt, dass die Menge [mm]\{X=s\}=\{s\}[/mm]
> eine Nullmenge ist und daher gilt 1. Stimmt dies?

Ja [daumenhoch].

>  
> Ich sehe aber nicht ein, wie ich bei 2. einsehe, dass das
> Integral 1 ist.

Wegen [mm] X\in[0,\infty) [/mm] folgt für beliebiges [mm] \omega\in\Omega, [/mm] dass [mm] c:=X(\omega)\ge0. [/mm]
Für dieses c gilt also [mm] Y_c(\omega)=1. [/mm] Damit folgt [mm] P(Y_s=0,\forall [/mm] s)=0.

LG

Bezug
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