Zeige, dass Menge offen ist < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] $\Omega\in\mathbb{R}^n$ [/mm] offen mit [mm] $0\notin\Omega$. [/mm] Dann ist [mm] $\tilde{\Omega}:=\left\{x\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\} : \frac{x}{|x|^2}\in \Omega \right\}$ [/mm] ebenfalls offen mit [mm] $0\notin\tilde{\Omega}$. [/mm] |
Hallo,
Ich bin mir nicht sicher wie man diese Behauptung zeigen könnte. Denn meiner Meinung nach gibt es da nicht viel zu zeigen.
Ich dachte man könnte mit der Definition argumentieren: Da in [mm] $\tilde{\Omega}$ [/mm] nur die [mm] $x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ [/mm] enthalten sind für die dieser Ausdruck in [mm] $\Omega$ [/mm] liegt, findet man bereits immer eine Umgebung um diese $x$ da [mm] $\Omega$ [/mm] offen ist.
Ist das zu einfach gedacht?
Und wenn ja, wie würde man hier am besten vorgehen?
Vielen Dank im Vorraus :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:15 Di 26.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]\Omega\in\mathbb{R}^n[/mm] offen mit [mm]0\notin\Omega[/mm]. Dann ist
> [mm]\tilde{\Omega}:=\left\{x\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\} : \frac{x}{|x|^2}\in \Omega \right\}[/mm]
> ebenfalls offen mit [mm]0\notin\tilde{\Omega}[/mm].
> Hallo,
> Ich bin mir nicht sicher wie man diese Behauptung zeigen
> könnte. Denn meiner Meinung nach gibt es da nicht viel zu
> zeigen.
> Ich dachte man könnte mit der Definition argumentieren: Da
> in [mm]\tilde{\Omega}[/mm] nur die [mm]x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}[/mm]
> enthalten sind für die dieser Ausdruck in [mm]\Omega[/mm] liegt,
> findet man bereits immer eine Umgebung um diese [mm]x[/mm] da [mm]\Omega[/mm]
> offen ist.
> Ist das zu einfach gedacht?
Na ja. Wenn Du eine solche Umgebung angeben könntest, wäre das O.K. Kannst Du das ?
Einfacher: definiere [mm] $f:\IR^n \setminus\{0\} \to \IR^n$ [/mm] durch [mm] $f(x):=\bruch{x}{|x|^2}$
[/mm]
Dann ist f stetig.
Welche Menge ist dann [mm] f^{-1}(\Omega) [/mm] ? Und welche Eigenschaft hat sie ?
FRED
> Und wenn ja, wie würde man hier am besten vorgehen?
> Vielen Dank im Vorraus :)
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> > Sei [mm]\Omega\in\mathbb{R}^n[/mm] offen mit [mm]0\notin\Omega[/mm]. Dann ist
> > [mm]\tilde{\Omega}:=\left\{x\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\} : \frac{x}{|x|^2}\in \Omega \right\}[/mm]
> > ebenfalls offen mit [mm]0\notin\tilde{\Omega}[/mm].
> > Hallo,
> > Ich bin mir nicht sicher wie man diese Behauptung zeigen
> > könnte. Denn meiner Meinung nach gibt es da nicht viel zu
> > zeigen.
> > Ich dachte man könnte mit der Definition argumentieren: Da
> > in [mm]\tilde{\Omega}[/mm] nur die [mm]x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}[/mm]
> > enthalten sind für die dieser Ausdruck in [mm]\Omega[/mm] liegt,
> > findet man bereits immer eine Umgebung um diese [mm]x[/mm] da [mm]\Omega[/mm]
> > offen ist.
> > Ist das zu einfach gedacht?
>
> Na ja. Wenn Du eine solche Umgebung angeben könntest,
> wäre das O.K. Kannst Du das ?
>
> Einfacher: definiere [mm]f:\IR^n \setminus\{0\} \to \IR^n[/mm] durch
> [mm]f(x):=\bruch{x}{|x|^2}[/mm]
>
>
>
> Dann ist f stetig.
>
> Welche Menge ist dann [mm]f^{-1}(\Omega)[/mm] ? Und welche
> Eigenschaft hat sie ?
>
Ehrlich gesagt, weiß ich nicht wie man von dieser Funktion eine Umkehrabbildung definieren sollte. Vielleicht sollte ich noch erwähnen, dass $|x|$ die euklidische Norm bezeichnet..
[mm] $f^{-1}$ [/mm] wäre dann nach dem Satz über die Umkehrabbildung ebenfalls stetig und die Menge vielleicht offen?
> FRED
> > Und wenn ja, wie würde man hier am besten vorgehen?
> > Vielen Dank im Vorraus :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:00 Di 26.04.2016 | | Autor: | fred97 |
> > > Sei [mm]\Omega\in\mathbb{R}^n[/mm] offen mit [mm]0\notin\Omega[/mm]. Dann ist
> > > [mm]\tilde{\Omega}:=\left\{x\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\} : \frac{x}{|x|^2}\in \Omega \right\}[/mm]
> > > ebenfalls offen mit [mm]0\notin\tilde{\Omega}[/mm].
> > > Hallo,
> > > Ich bin mir nicht sicher wie man diese Behauptung zeigen
> > > könnte. Denn meiner Meinung nach gibt es da nicht viel zu
> > > zeigen.
> > > Ich dachte man könnte mit der Definition argumentieren: Da
> > > in [mm]\tilde{\Omega}[/mm] nur die [mm]x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}[/mm]
> > > enthalten sind für die dieser Ausdruck in [mm]\Omega[/mm] liegt,
> > > findet man bereits immer eine Umgebung um diese [mm]x[/mm] da [mm]\Omega[/mm]
> > > offen ist.
> > > Ist das zu einfach gedacht?
> >
> > Na ja. Wenn Du eine solche Umgebung angeben könntest,
> > wäre das O.K. Kannst Du das ?
> >
> > Einfacher: definiere [mm]f:\IR^n \setminus\{0\} \to \IR^n[/mm] durch
> > [mm]f(x):=\bruch{x}{|x|^2}[/mm]
> >
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> >
> > Dann ist f stetig.
> >
> > Welche Menge ist dann [mm]f^{-1}(\Omega)[/mm] ? Und welche
> > Eigenschaft hat sie ?
> >
> Ehrlich gesagt, weiß ich nicht wie man von dieser
> Funktion eine Umkehrabbildung definieren sollte. Vielleicht
> sollte ich noch erwähnen, dass [mm]|x|[/mm] die euklidische Norm
> bezeichnet..
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> [mm]f^{-1}[/mm] wäre dann nach dem Satz über die Umkehrabbildung
> ebenfalls stetig und die Menge vielleicht offen?
>
> > FRED
> > > Und wenn ja, wie würde man hier am besten
> vorgehen?
> > > Vielen Dank im Vorraus :)
> >
>
In $ [mm] f^{-1}(\Omega) [/mm] $ ist mit [mm] f^{-1} [/mm] nicht die Umkehrfunktion gemeint, sondern
$ [mm] f^{-1}(\Omega)=\{x \in \IR^n \setminus \{0\}: f(x) \in \Omega\} [/mm] $
"Urbild von [mm] \Omega"
[/mm]
Es ist $ [mm] f^{-1}(\Omega)=\tilde{\Omega} [/mm] $
Mach Dir das klar. Weil f stetig ist, ist $ [mm] f^{-1}(\Omega) [/mm] $ offen in [mm] \IR^n \setminus \{0\} [/mm] und damit auch offen [mm] \in \IR^n.
[/mm]
FRED
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Ok, vielen Dank. Ich werde mir das noch einmal genau anschauen :)
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