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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:46 Mi 02.11.2011 | | Autor: | TomTom90 |
| Aufgabe | Es seien M eine Menge und A,B [mm] \subset [/mm] M. Zeigen Sie:
A = (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (A \ B) , (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cap [/mm] (A \ B) = [mm] \emptyset [/mm] |
So jetzt weiß ich nich genau wie ich das denn zeigen soll...
Ich binj schomal soweit das ich das nen bissl umgeformt hab:
A = {x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] ((x [mm] \in [/mm] A) [mm] \cap [/mm] (x [mm] \not\in [/mm] B))}
Aber ehrlich gesagt hab ich 0 Plan wie ich vorgehn muss....
Nen paar Denkanstöße wären sehr hilfreich
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es seien M eine Menge und A,B [mm]\subset[/mm] M. Zeigen Sie:
> A = (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] (A \ B) , (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cap[/mm] (A \ B) =
> [mm]\emptyset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> So jetzt weiß ich nich genau wie ich das denn zeigen
> soll...
>
> Ich binj schomal soweit das ich das nen bissl umgeformt
> hab:
>
> A = {x [mm]\in[/mm] A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] ((x [mm]\in[/mm] A) [mm]\cap[/mm] (x [mm]\not\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
B))}
>
> Aber ehrlich gesagt hab ich 0 Plan wie ich vorgehn
> muss....
>
> Nen paar Denkanstöße wären sehr hilfreich
moin TomTom,
Du hast hier schon einen sehr schönen Anfang, aber du bist noch nicht fertig.
Du kannst die gesamten Mengenoperationen in logische Aussagen umwandeln.
Deine erste Aussage komplett in Logik würde so aussehen:
$x \in A \gdw (x \in A \wedge x \in B) \vee (x \in A \wedge x \not \in B)$
Hier hast du dann eine logische Aussage, versuch also diese zu beweisen.
Bei der zweiten musst du so ähnlich vorgehen, nur darfst du nicht vergessen, dass $x \in \emptyset$ ein Widerspruch ist.
(Natürlich solltest du die Umwandlung in lgoische Ausdrücke nicht einfach so hinschreiben sondern auch irgendwo sagen wie du drauf kommst.^^)
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:11 Mi 02.11.2011 | | Autor: | TomTom90 |
Okay aber wie beweis ich das ich würde jetzt das alles in ne Wahrheitstabelle packen und gucken ob am ende alles wahr ist...
Wäre natürlich ne ziemlich umständliche Variante oder? Kann ich das iwie anders zeigen?
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jupp, du kannst es folgern; auch wenn es dadurch in diesem Fall nicht sehr viel schneller geht.^^
Eine Äquivalenz [mm] ($\gdw$) [/mm] zeigt man am besten, indem man beide Richtungen zeigt, also [mm] $\Rightarrow$ [/mm] und [mm] $\Leftarrow$ [/mm] getrennt.
zu erst mal die eine Richtung:
Sei $x [mm] \in [/mm] A$.
Fall 1: $x [mm] \in [/mm] B$
Dann ist die rechte Seite wahr (musst du ggf. noch ein wenig argumentieren).
Fall 2: $x [mm] \not \in [/mm] B$
Dann ist die rechte Seite ebenfalls wahr (wieso?^^)
Für die andere Richtung musst du nun annehmen, dass die rechte Seite gilt und musst dann zeigen, dass $x [mm] \in [/mm] A$ gilt.
In diesem Fall könntest du es noch mit einer Wahrheitstafel machen, aber es gibt Fälle wo dies nicht so gut möglich ist also übe es am besten jetzt schonmal mit logischen Folgerungen. ;)
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:50 Mi 02.11.2011 | | Autor: | TomTom90 |
Irgendwie will mein Kopf das nich :D
Okay nehmen wir an x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \in [/mm] B was ja dein 1. Fall wär:
Ist wahr weil dann ja damit die erste Klammer erfüllt wäre (x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] B) das dahinter kann man weglassen weil da nur nen "oder" is
so 2. Fall sei x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \in [/mm] B :
Wahr weil somit die 2 Klammer erfüllt wäre (x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] B)
Wär das so richtig argumetiert oder wie :D
und wenn ich das jetzt von der anderen Seite folgern will muss ich da nich genau das selbe wie ich grad gemacht hab machen?
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> Irgendwie will mein Kopf das nich :D
>
> Okay nehmen wir an x [mm]\in[/mm] A und x [mm]\in[/mm] B was ja dein 1. Fall
> wär:
> Ist wahr weil dann ja damit die erste Klammer erfüllt
> wäre (x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] B) das dahinter kann man
> weglassen weil da nur nen "oder" is
>
> so 2. Fall sei x [mm]\in[/mm] A und x [mm]\in[/mm] B :
> Wahr weil somit die 2 Klammer erfüllt wäre (x [mm]\in[/mm] A
> [mm]\wedge[/mm] x [mm]\not\in[/mm] B)
>
> Wär das so richtig argumetiert oder wie :D
jupp, sieht gut aus
> und wenn ich das jetzt von der anderen Seite folgern will
> muss ich da nich genau das selbe wie ich grad gemacht hab
> machen?
fast, das ist sogar noch einfacher in die andere Richtung:
Ist $x [mm] \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] B$ dann ist ja x ins besondere in A enthalten; ebenso für die zweite Klammer.
Für das oder muss mindestens eine der beiden Klammern gelten, somit hast du also $x [mm] \in [/mm] A$.
Das ganze nur noch ein wenig formell ausformulieren und dann passt das. ;)
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:48 Mi 02.11.2011 | | Autor: | TomTom90 |
Okay hab mir ma das zweite vorgenommen:
(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cap [/mm] (A \ B) = [mm] \emptyset [/mm]
(x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] x [mm] \in [/mm] B) [mm] \cap [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] x [mm] \not\in [/mm] B) <=> [mm] \emptyset [/mm]
Sei x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] x [mm] \in [/mm] B :
(A [mm] \cap [/mm] B) => x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B)
(x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] x [mm] \not\in [/mm] B) => [mm] \emptyset [/mm]
(x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] x [mm] \in [/mm] B) [mm] \cap [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \cap [/mm] x [mm] \not\in [/mm] B) => [mm] \emptyset [/mm] wahr!
Soweit alles gut?
Muss ich jetzt auch wieder andersdrum folgern?
Sprich:
Sei A := { [mm] \emptyset [/mm] } [mm] \cap [/mm] B := { [mm] \emptyset [/mm] } ? Was müsste ich denn da dann folgern xD?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:55 Mi 02.11.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo TomTom,
nur mal so als Zwischenbemerkung: das ist kein Chat hier.
Außer mir gibt es sicher noch mehr Menschen hier (ein paar kenne ich davon), die darauf hochallergisch reagieren und schlicht keine Lust haben, sich mit solchen Anfragen auseinanderzusetzen. Nicht alle hier sind um die Zwanzig. Smilies verstehen wir trotzdem und verwenden sie auch, aber ich kann Dir versichern, dass xD nicht dabei ist. Das ist was für pubertierende Teenies. Niemand zwinkert und reißt den Mund lachend auf, außer in Mangas und zuweilen auch älteren Comics.
Wenn Du einen ernsthaften Umgang mit Deinen Fragen möchtest, dann stell Deine Fragen auch ernsthaft.
Grüße
reverend
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Nein, du hast hier Glück und musst nicht anders herum folgern.
Denn $x [mm] \in \emptyset$ [/mm] ist immer falsch, du musst also nur zeigen, dass die linke Aussage immer falsch ist.
Hierfür musst du aber deine Aussagen komplett in Logik übersetzen, also etwa aus [mm] $\cap$ [/mm] ein [mm] $\wedge$ [/mm] machen.
So wie es da jetzt steht wäre es noch falsch, denn du versuchst zum Teil den Schnitt von logischen Aussagen zu bilden, was so nicht möglich ist.
Also wandel das jetzt mal komplett in logische Aussagen um und zeige dann, dass es immer falsch ist.
Wenn du dein Wissen darüber wann ein logisches und falsch ist geschickt anwendest kannst du dir hier viel Arbeit sparen. ;)
lg
Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:07 Do 03.11.2011 | | Autor: | TomTom90 |
Muss aus [mm] \cap [/mm] nicht ein [mm] \wedge [/mm] werden? Oder hab ich jetzt alles falsch verstanden?
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ups, hast natürlich Recht, ja.
habs korrigiert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Do 03.11.2011 | | Autor: | TomTom90 |
Ganz ehrlich ich habs immer noch nich gerafft wie genau ich das zeig und vorallem so zeige das es formal richtig ist.
Ich seh zwar das es stimmt aus den Aussagen aber wie soll ich das aufschreiben...
Deshalb meine bitte kann mir ma wer das 1. Beispiel erklärend vorrechnen evtl. kapier ichs dann endlich.....
Also:Es seien M eine Menge und A, B [mm] \subset [/mm] M Zeigen Sie:
• A = (A [mm] \cap [/mm] B) ∪ (A \ B) , (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cap [/mm] (A \ B) = ∅ .
Nur eins, wär verdammt super
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> Ganz ehrlich ich habs immer noch nich gerafft wie genau ich
> das zeig und vorallem so zeige das es formal richtig ist.
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> Ich seh zwar das es stimmt aus den Aussagen aber wie soll
> ich das aufschreiben...
> Deshalb meine bitte kann mir ma wer das 1. Beispiel
> erklärend vorrechnen evtl. kapier ichs dann endlich.....
>
> Also:Es seien M eine Menge und A, B [mm]\subset[/mm] M Zeigen Sie:
> • A = (A [mm]\cap[/mm] B) ∪ (A \ B) , (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cap[/mm] (A \ B) =
> ∅ .
>
> Nur eins, wär verdammt super
hmm, der zweite:
Sei $x [mm] \in [/mm] (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cap[/mm] (A \ B)$
Dann gilt:
$x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] B$
daraus folgt [mm] (\wedge [/mm] kommutativ und assoziativ):
$(x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] A) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] B) $
daraus folgt wiederrum:
$x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] 0$
und damit:
falsch!
Somit ist die Aussage, dass x in der rechten Seite ist, allgemein falsch.
Die einzige Menge, bei der $x [mm] \in [/mm] M$ immer falsch ist, wäre $M = [mm] \emptyset$, [/mm] also ist diese Menge gleich der leeren Menge.
Einfach in Logik umwandeln und dann ein wenig argumentieren.
Dafür solltest du natürlich die Regeln für solche logischen Aussagen kennen, wie etwa in wie weit sie kommutativ sind oder nicht, DeMorgen-Regeln, etc.
Wenn dir das alles nichts sagt schlag mal in deinem Skript nach, da steht sicher einiges dazu.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:28 Do 03.11.2011 | | Autor: | TomTom90 |
Okay hab mich ma an das erste Gesetzt und jetzt folgendes raus:
A = (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (A \ B)
sei x [mm] \in [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B) [mm] \cup [/mm] (A \ B)
dann gilt
(x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \in [/mm] B ) [mm] \vee [/mm] (x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] B)
daraus folgt (Distributativgesetz)
x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] ( x [mm] \in [/mm] B [mm] \vee [/mm] x [mm] \not\in [/mm] B)
daraus folgt (Absorptionsgesetz)
x [mm] \in [/mm] A
Somit Wahr.
Stimmt das?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:34 Fr 04.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo TomTom,
ich habe nicht den gesamten Thread durchgelesen, sondern beziehe mich nur auf diese Frage.
> Okay hab mich ma an das erste Gesetzt und jetzt folgendes
> raus:
>
> A = (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] (A \ B)
> sei x [mm]\in[/mm] (A [mm]\cap[/mm] B) [mm]\cup[/mm] (A \ B)
> dann gilt
> (x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\in[/mm] B ) [mm]\vee[/mm] (x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] x [mm]\not\in[/mm]
> B)
> daraus folgt (Distributativgesetz)
> x [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] ( x [mm]\in[/mm] B [mm]\vee[/mm] x [mm]\not\in[/mm] B)
> daraus folgt (Absorptionsgesetz)
> x [mm]\in[/mm] A
>
> Somit Wahr.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") . Damit ist gezeigt, dass [mm] $A\supseteq (A\cap B)\cup (A\setminus [/mm] B)$. Aber die umgekehrte Inklusion funktioniert genauso rückwärts. Du könntest auch gleich Äquivalenzpfeile setzen und so beide Inklusionen in einem erledigen.
Viele Grüße
Tobias
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