Zeigen, dass Gleichung gilt. < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 So 12.04.2009 | | Autor: | ChaoZz |
| Aufgabe | | Zeigen oder widerlegen Sie, dass für beliebige Mengen A, B, Teilmengen M [mm] \subseteq [/mm] A und Funktionen f : A -> B die folgende Gleichung gilt: [mm] f(\overline{M}) [/mm] = [mm] \overline{f(M)} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich hab ein großes Verständnisproblem. Die Lösung zu der Aufgabe habe ich bereits. Lösung : Sei f die Funktion f(x) = [mm] x^2, [/mm] x [mm] \in \IZ [/mm] und M = [mm] \IN, [/mm] so gilt: f(M) = [mm] f(\overline{M}) \not= \overline{f(M)}
[/mm]
aber, ich kann einfach nicht nachvollziehen wie die zustande kommt. Ich muss zugeben, dass ich große Lücken im Vorwissen habe, muss mir praktisch die Grundlagen mit kaum Unterlagen aneignen, deshalb wär ich über eine Erklärung für Dummys sehr dankbar. Konkret würde ich u.a. gerne wissen warum ich einfach so annehmen kann, dass die Funktion f(x) = [mm] x^2 [/mm] sei und x [mm] \in \IZ [/mm] sowie M = [mm] \IN [/mm] ist. Warum nicht z.B. f(x) = x und x = [mm] \IN [/mm] ? (Ist bestimmt ne doofe Frage, aber mir erschließt sich die Logik noch nicht, warum ich einfach so irgendwas annehmen kann und woher ich dann wissen soll, dass das auch eine richtige Annahme ist).
Dann hab ich ein Problem damit : f(M) = [mm] f(\overline{M}) \not= \overline{f(M)}. [/mm] Ich hab mir mal die Mengen aufgezeichnet und mir ist nicht klar was denn [mm] \overline{f(M)} [/mm] nun genau ist. Ich hab doch in der Menge B gar nichts, ausser eben sozusagen das Negativ von M aus der Menge A. Also ich hab M [mm] \subseteq [/mm] A somit ist [mm] \overline{M} [/mm] praktisch der Rest um M herum. Nun ist [mm] f(\overline{M}) [/mm] parktisch alles in B ausser das "Negativ" von M aus A. [mm] \overline{f(M)} [/mm] würde ich nun mit "Ist nicht Bildmenge von M" definieren. Wenn ich mir nun mein Bild so ansehen, dann sehe ich in B bzw [mm] f(\overline{M}) [/mm] ein Loch, das wird dann wohl "ist nicht Bildmenge von M" sein bzw. [mm] \overline{f(M)}, [/mm] richtig? Wenn ja dann sehe ich jetzt auch das dann [mm] f(\overline{M}) \not= \overline{f(M)} [/mm] sein muss, aber ich lass den Text trotzdem mal stehen, da mir immer noch nicht klar ist, ob ich mit meiner Annahme richtig liege + erste Frage. Vielleicht hilfts auch mein Gesamtproblem besser zu verstehen, ich habe unglaubliche Probleme micht richtig auszudrücken. Vielen Dank schonmal
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> Zeigen oder widerlegen Sie, dass für beliebige Mengen A, B,
> Teilmengen M [mm]\subseteq[/mm] A und Funktionen f : A -> B die
> folgende Gleichung gilt: [mm]f(\overline{M})[/mm] = [mm]\overline{f(M)}[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Ich hab ein großes Verständnisproblem. Die Lösung zu der
> Aufgabe habe ich bereits. Lösung : Sei f die Funktion f(x)
> = [mm]x^2,[/mm] x [mm]\in \IZ[/mm] und M = [mm]\IN,[/mm] so gilt: f(M) =
> [mm]f(\overline{M}) \not= \overline{f(M)}[/mm]
> aber, ich kann
> einfach nicht nachvollziehen wie die zustande kommt.
Diese Widerlegung der Allaussage ist etwas bruchstückhaft formuliert. Genau genommen müsste auch ausdrücklich erklärt werden, welche Menge man für $B$ wählt. Wählt man etwa [mm] $B=\IZ$, [/mm] so ist klar, dass [mm] $\overline{f(M)}$ [/mm] auch negative Zahlen enthält, die in [mm] $f(\overline{M})=f(\IZ\backslash \IN)$ [/mm] sicher nicht auftreten können.
Wählt man aber [mm] $B=\IN_0$, [/mm] so kann man [mm] $f(\overline{M})\neq \overline{f(M)}$ [/mm] wegen [mm] $2\in \overline{f(M)}$ [/mm] aber [mm] $2\notin f(\overline{M})$ [/mm] schliessen.
> Ich
> muss zugeben, dass ich große Lücken im Vorwissen habe, muss
> mir praktisch die Grundlagen mit kaum Unterlagen aneignen,
> deshalb wär ich über eine Erklärung für Dummys sehr
> dankbar. Konkret würde ich u.a. gerne wissen warum ich
> einfach so annehmen kann, dass die Funktion f(x) = [mm]x^2[/mm] sei
> und x [mm]\in \IZ[/mm] sowie M = [mm]\IN[/mm] ist. Warum nicht z.B. f(x) = x
> und x = [mm]\IN[/mm] ? (Ist bestimmt ne doofe Frage, aber mir
> erschließt sich die Logik noch nicht, warum ich einfach so
> irgendwas annehmen kann und woher ich dann wissen soll,
> dass das auch eine richtige Annahme ist).
Sobald man sich dazu entschliesst, eine Widerlegung der Allaussage "für alle $A,B$ und [mm] $M\subseteq [/mm] A$ sowie [mm] $f:A\rightarrow [/mm] B$ gilt [mm] $f(\overline{M})=\overline{f(M)}$" [/mm] durch Angabe eines Gegenbeispiels zu versuchen, ist man in der Wahl von $A,B$ und [mm] $M\subseteq [/mm] A$ sowiel [mm] $f:A\rightarrow [/mm] B$ frei. Einziges Kriterium für die Zweckmässigkeit der Wahl ist, ob man für die gewählten Grössen $A,B,M$ und $f$ zeigen kann, dass [mm] $f(\overline{M})=\overline{f(M)}$ [/mm] nicht erfüllt ist.
Falls Du mit Deiner Wahl von $f(x) = x$ dies erreichen kannst, wäre ein solches Gegenbeispiel zur behaupteten Allaussage auch in Ordnung.
Eines muss klar sein: falls [mm] $f:A\rightarrow [/mm] B$ nicht surjektiv ist, kann [mm] $f(\overline{M})=\overline{f(M)}$ [/mm] nicht gelten. Denn für ein solches $f$ wäre ja [mm] $f(\overline{M})\subseteq [/mm] f(A)$, aber [mm] $\overline{f(M)}$ [/mm] enthält dann ganz [mm] $B\backslash [/mm] f(A)$ und kann daher nicht gleich [mm] $f(\overline{M})$ [/mm] sein. D.h. jede nicht surjektive Funktion [mm] $f:A\rightarrow [/mm] B$ mit beliebig gewähltem [mm] $M\subseteq [/mm] A$ kann als Gegenbeispiel für die obige Allaussage dienen.
(Bem: Aber auch aus surjektiven aber nicht-injektiven Funktionen [mm] $f:A\rightarrow [/mm] B$ kann man, bei geeigneter Wahl von [mm] $M\subseteq [/mm] A$ Gegenbeispiele zur fraglichen Allaussage erhalten.)
>
> Dann hab ich ein Problem damit : f(M) = [mm]f(\overline{M}) \not= \overline{f(M)}.[/mm]
> Ich hab mir mal die Mengen aufgezeichnet und mir ist nicht
> klar was denn [mm]\overline{f(M)}[/mm] nun genau ist. Ich hab doch
> in der Menge B gar nichts, ausser eben sozusagen das
> Negativ von M aus der Menge A.
"Das Negativ"? [mm] $\overline{f(M)}$ [/mm] ist das relative Komplement von $f(M)$ bezüglich der hier nur implizit zugrunde gelegten Grundmenge $B$. Es ist also [mm] $\overline{f(M)}=B\backslash [/mm] f(M)$.
> Also ich hab M [mm]\subseteq[/mm] A
> somit ist [mm]\overline{M}[/mm] praktisch der Rest um M herum.
Schreib dies genauer: es ist [mm] $\overline{M}=A\backslash [/mm] M$. Dass hier das Komplement relativ zu $A$ zu nehmen ist, wird eben leider nicht explizit formuliert: das musst Du erraten.
> Nun
> ist [mm]f(\overline{M})[/mm] parktisch alles![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") in B ausser das
> "Negativ" von M aus A.
Nein, eben nicht. Es ist: [mm] $f(\overline{M})=f(A\backslash [/mm] M)$. [mm] $f(\overline{M})$ [/mm] ist daher [mm] $\subseteq [/mm] f(A)$ und kann deshalb Elemente von [mm] $B\backslash [/mm] f(A)$ gar nicht enthalten (die es im nicht-surjektiven Fall eben gibt).
> [mm]\overline{f(M)}[/mm] würde ich nun mit
> "Ist nicht Bildmenge von M" definieren.
Ist zu ungenau um was rechnen zu können. Es ist genauer: [mm] $\overline{f(M)}=B\backslash [/mm] f(M)$.
> Wenn ich mir nun
> mein Bild so ansehen, dann sehe ich in B bzw
> [mm]f(\overline{M})[/mm] ein Loch, das wird dann wohl "ist nicht
> Bildmenge von M" sein bzw. [mm]\overline{f(M)},[/mm] richtig? Wenn
> ja dann sehe ich jetzt auch das dann [mm]f(\overline{M}) \not= \overline{f(M)}[/mm]
> sein muss, aber ich lass den Text trotzdem mal stehen, da
> mir immer noch nicht klar ist, ob ich mit meiner Annahme
> richtig liege + erste Frage. Vielleicht hilfts auch mein
> Gesamtproblem besser zu verstehen, ich habe unglaubliche
> Probleme micht richtig auszudrücken. Vielen Dank schonmal
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