Zeigen, dass obere Schranke < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
sei M eine nicht leere, nach unten beschränkte Teilmenge von [mm] \IR [/mm] mit inf M > 0. Für M' = [mm] \{ x \in \IR : \bruch{1}{x} \in M \} [/mm] zeige man: M' ist nach oben beschränkt und sup M' = [mm] \bruch{1}{inf M}.
[/mm]
Ich will nun zunächst nur zeigen, dass M' nach oben beschränkt ist. Habe das wie folgt gemacht:
Seien:
A = sup M
B = sup M'
a [mm] \in [/mm] M
b [mm] \in [/mm] M'
Dann gilt:
a [mm] \le [/mm] A
b [mm] \le [/mm] B
(a + b) [mm] \le [/mm] (A + B) [mm] \Rightarrow [/mm] A + B ist obere Schranke von M' und somit ist M' nach oben beschränkt.
Richtig?
Mit dem zweiten Teil möchte ich dann fortfahren, sobald ihr den ersten abgesegnet habt.
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> Hallo,
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> sei M eine nicht leere, nach unten beschränkte Teilmenge
> von [mm]\IR[/mm] mit inf M > 0. Für M' = [mm]\{ x \in \IR : \bruch{1}{x} \in M \}[/mm]
> zeige man: M' ist nach oben beschränkt und sup M' =
> [mm]\bruch{1}{inf M}.[/mm]
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> Ich will nun zunächst nur zeigen, dass M' nach oben
> beschränkt ist. Habe das wie folgt gemacht:
>
> Seien:
>
> A = sup M
> B = sup M'
> a [mm]\in[/mm] M
> b [mm]\in[/mm] M'
>
> Dann gilt:
>
> a [mm]\le[/mm] A
> b [mm]\le[/mm] B
>
> (a + b) [mm]\le[/mm] (A + B) [mm]\Rightarrow[/mm] A + B ist obere Schranke
> von M' und somit ist M' nach oben beschränkt.
>
> Richtig?
Hallo,
nein, das kannst Du so nicht machen:
mit
> B = sup M'
verwendest Du bereits etwas, was Du ja erst beweisen willst, nämlcih die Beschränktheit von M'.
Gruß v. Angela
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Wie beweist man sowas dann? Ein Tipp würde mir schon reichen.
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> Wie beweist man sowas dann? Ein Tipp würde mir schon
> reichen.
Hallo,
da Du zeigen sollst, daß
> sup M' = $ [mm] \bruch{1}{inf M} [/mm] $ ,
liegt es doch nahe, daß Du erstmal zeigst, daß [mm] \bruch{1}{inf M} [/mm] obere Schranke von M' ist.
Danach zeige, daß es die kleinste obere Schranke ist.
Gruß v. Angela
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"obere Schranke von M ist."
muss das nicht die obere Schranke von M' sein?
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> "obere Schranke von M ist."
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> muss das nicht die obere Schranke von M' sein?
Natürlich. Sonst wäre das ja sinnlos. Ich hab's korrigiert, danke.
Gruß v. Angela
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