Zeigen des Unterraumes/Basis < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:36 Di 13.05.2008 | | Autor: | tricki |
| Aufgabe | Aufgabe 10
Zeigen Sie, das
W = {(x, x + y, x + [mm] y)^{T}} [/mm] /x, y [mm] \in\IR
[/mm]
ein Unterraum des [mm] \IR [/mm] 3 und das {(1; 1; [mm] 1)^{T} [/mm] ; (1; 0; [mm] 0)^{T}} [/mm] eine Basis von W ist.
Welche Dimension hat W ?
Aufgabe 11
Geben Sie eine Basis und die Dimension folgender Unterräume
des [mm] \IR [/mm] 2 bzw. [mm] \IR [/mm] 4 an:
W1 = [mm] \alpha{(1; 5) ; (5; 1) ; (1; 4) ; (4; 1)}
[/mm]
W2 = [mm] \alpha{(1; 1; 1; 1) ; (0; 1; 2; 3) ; (0; 0; -1; -1) ; (0; 1; 1; 2)} [/mm] |
Bei Aufgabe 10 habe zwar den Unteraum [mm] \IR [/mm] 3 zeigen können, jedoch weiß ich nicht, wie ich zeigen soll, das (1, 1, 1) und (1, 0, 0) eine Basis von W bilden?
Bei der 11. Aufgabe sehe ich nicht durch, ein Ansatz oder ne Rechenhilfe wäre schön.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Aufgabe 10
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> Zeigen Sie, das
> W = {(x, x + y, x + [mm]y)^{T}}[/mm] /x, y [mm]\in\IR[/mm]
> ein Unterraum des [mm]\IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
3 und das {(1; 1; [mm]1)^{T}[/mm] ; (1; 0;
> [mm]0)^{T}}[/mm] eine Basis von W ist.
> Welche Dimension hat W ?
>
> Aufgabe 11
>
> Geben Sie eine Basis und die Dimension folgender
> Unterräume
> des [mm]\IR[/mm] 2 bzw. [mm]\IR[/mm] 4 an:
> W1 = [mm]\alpha{(1; 5) ; (5; 1) ; (1; 4) ; (4; 1)}[/mm]
> W2 =
> [mm]\alpha{(1; 1; 1; 1) ; (0; 1; 2; 3) ; (0; 0; -1; -1) ; (0; 1; 1; 2)}[/mm]
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> Bei Aufgabe 10 habe zwar den Unteraum [mm]\IR[/mm] 3 zeigen können,
> jedoch weiß ich nicht, wie ich zeigen soll, das (1, 1, 1)
> und (1, 0, 0) eine Basis von W bilden?
Hallo,
zeig', daß die beiden linear unabhängig sind und daß Du jeden Vektor der Gestalt (x, x + y, x + [mm]y)^{T}}[/mm] als Linearkombination der beiden schreiben kannst (Erzeugendensystem).
>
> Bei der 11. Aufgabe sehe ich nicht durch, ein Ansatz oder
> ne Rechenhilfe wäre schön.
Zunächst mal kann man sich klar machen, daß die Dimension der Unterräume [mm] \le [/mm] der Dimension des (Ober-)Raumes sein muß.
Da der [mm] \IR^2 [/mm] die Dimension 2 hat, kann [mm] W_1 [/mm] nur die Dim. 1 oder 2 haben. Wenn Du zwei linear unabhängige Vektoren im Erzeugendensystem findest, hast Du bereits die Basis des Unterraumes gefunden.
Generell bekommt man diese Aufgaben am besten hin, wenn man die Vektoren als Spalten in eine Matrix steckt, welche man auf ZSF bringt. Der Rang ist die gesuchte Dimension, und man kann auch eine Basis ablesen, wie das geht, könnte ich Dir zeigen, wenn die Matrix in ZSF dasteht.
[Alternativ - falls Ihr das hattet:
Vektoren als Zeilen in eine Matrix, auf Zeilenstufenform bringen. Der Rang ist die Dimension, die verbleibenden Zeilen liefern eine Basis.]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:13 Di 13.05.2008 | | Autor: | tricki |
Bei 11. bin ich mit der Zeilenform nicht auf wünschenswerte Ergebnise gekommen, bzw. was ist unter der Erzeugendform zu verstehen?
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> Bei 11. bin ich mit der Zeilenform nicht auf wünschenswerte
> Ergebnise gekommen,
Hallo,
zeig mal, was Du gemacht hast.
> bzw. was ist unter der Erzeugendform zu
> verstehen?
Wer spricht von "Erzeugendform"? Ich kenne ein Erzeugendensystem, aber nicht den besagten Ausdruck.
Vielleicht ist damit die Matrix gemeint, die die erzeugenden Vektoren in den Zeilen enthält.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:23 Di 13.05.2008 | | Autor: | tricki |
Nein, ich meinte scho das was du meintest. Bei W2, mit der Zeilenform konnte ich eine lineare Unabhängigkeit zeigen, jedoch bei W1, komme ich auf keine richtige Lösung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:42 Di 13.05.2008 | | Autor: | tricki |
Könntest du mir nicht eventuell mal einen Rechenanfang übermitteln oder so?
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> Könntest du mir nicht eventuell mal einen Rechenanfang
> übermitteln oder so?
Hallo,
ich würde - wenn ich das Ergebnis wie im Einganspost beschrieben nicht sofort sehen würde - die Vektoren als Spalten in eine Matrix stecken:
[mm] \pmat{ 1 & 5 &1 & 4 \\ 5 & 1 &4 & 1},
[/mm]
diese auf Zeilestufenform bringen:
[mm] \pmat{ \red{1} & 5 &1 & 4 \\ 0 & \red{24} &1 & 19}.
[/mm]
Nun sehe ich, daß bei ZSF 2 Zeilen bleiben. Also ist die Dimension des aufgespannten Raumes =2.
Die führenden Elemente der Zeilen (rot) stehen in der 1. und 2.Spalte.
Also weiß ich, daß ganz sicher der 1. und 2. der in die Matrix gesteckten Vektoren zusammen eine Basis bilden, also ist
[mm] (\vektor{1 \\ 5}, \vektor{5 \\ 1}) [/mm] eine basis des aufgespannten Raumes - wie viele andere Basen auch.
Da der aufgespannte Raum ein Unterraum der Dimension 2 des zweidimensionalen Raumes [mm] \IR^2 [/mm] ist, ist er [mm] =\IR^2. [/mm] Das bedeutet, daß man als Basis natürlich auch die Standardbasis des [mm] \IR^2 [/mm] nehmen kann.
Die andere von mir geschilderte Möglichkeit:
Stecke die Vektoren als Zeilen in eine Matrix und bringe sie auf Zeilenstufenform
[mm] \pmat{ 1 & 5 \\5 & 1 \\ 1 & 4 \\4 & 1} [/mm] --> [mm] \pmat{ 1 & 5 \\0 & 24 \\ 0 & 1 \\0 & 19} -->\pmat{ 1 & 5 \\0 & 1 \\ 0 & 1 \\0 & 1} -->\pmat{ 1 & 5 \\0 & 1 \\ 0 & 0 \\0 & 0}
[/mm]
Ich lese ab: [mm] (\vektor{1 \\ 5}, \vektor{0 \\ 1}) [/mm] ist eine basis des aufgespannten Raumes, sein Dim. =2.
Gruß v. Angela
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