Zeigen oder Widerlegen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:44 Do 11.11.2010 | | Autor: | freak333 |
| Aufgabe | Zeigen Sie oder widerlegen Sie:
a) [mm] \exists [/mm] C [mm] \in\IN(inkl [/mm] 0), so dass gilt:
[mm] \forall [/mm] n [mm] \in\IN(inkl [/mm] 0): [mm] \summe_{k=1}^{n}k² [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}n(n+1)(2n+1)+C
[/mm]
b) [mm] \exists [/mm] n [mm] \in\IN(inkl [/mm] 0): [mm] \summe_{k=1}^{n}k [/mm] = [mm] \bruch{1}{8}(2n+1)². [/mm] |
sooo... also nun frage ich mich, ob meine Lösung richtig ist... bin mir da nämlich nicht so sicher...
zu a)
I.A.: n = 2
[mm] \summe_{k=1}^{2}k² [/mm] = 1² = 1 = [mm] \bruch{1}{6}*1(2+1)(2*2+1)+C [/mm] = 2+C
daraus folgt:
1 = 2+C |-2
-1 = C
daraus ergibt sich ein Widerspruch, da -1 [mm] \not\in \IN(inkl. [/mm] 0)
ist das richtig?
b)
1 = [mm] \bruch{1}{8}(2n+1)² [/mm] |*8
8 = (2n+1)² | [mm] \wurzel{}
[/mm]
[mm] \wurzel{8} [/mm] = 2n+1 |-1 |:2
n = [mm] \bruch{(\wurzel{3} - \wurzel{1})}{2}
[/mm]
hab ich damit bewiesen, dass es ein n gibt? Und wenn ja, wie beweis ich jetzt, dass es element [mm] \IN(inkl.0) [/mm] ist??
Danke schonmal im Vorraus!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:58 Do 11.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Zeigen Sie oder widerlegen Sie:
>
> a) [mm]\exists[/mm] C [mm]\in\IN(inkl[/mm] 0), so dass gilt:
>
> [mm]\forall[/mm] n [mm]\in\IN(inkl[/mm] 0): [mm]\summe_{k=1}^{n}k²[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{6}n(n+1)(2n+1)+C[/mm]
>
> b) [mm]\exists[/mm] n [mm]\in\IN(inkl[/mm] 0): [mm]\summe_{k=1}^{n}k[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{8}(2n+1)².[/mm]
> sooo... also nun frage ich mich, ob meine Lösung richtig
> ist... bin mir da nämlich nicht so sicher...
>
> zu a)
> I.A.: n = 2
>
> [mm]\summe_{k=1}^{2}k²[/mm] = 1² = 1 =
> [mm]\bruch{1}{6}*1(2+1)(2*2+1)+C[/mm] = 2+C
Da hast du einfach Mist gerechnet!
n=2 wieviel Summanden hast du?
und setz hinten wirklich überall 2=2 ein
> daraus folgt:
> 1 = 2+C |-2
> -1 = C
> daraus ergibt sich ein Widerspruch, da -1 [mm]\not\in \IN(inkl.[/mm]
neu rechnen!
> 0)
>
> ist das richtig?
Nein
> b)
> 1 = [mm]\bruch{1}{8}(2n+1)²[/mm] |*8
hier hast du links offensichtlich n=1 eingesetzt, rechts nicht
du hast also höchstens gezeigt, dass die Gl. für n=1 nicht gilt
> 8 = (2n+1)² | [mm]\wurzel{}[/mm]
> [mm]\wurzel{8}[/mm] = 2n+1 |-1 |:2
> n = [mm]\bruch{(\wurzel{3} - \wurzel{1})}{2}[/mm]
>
> hab ich damit bewiesen, dass es ein n gibt? Und wenn ja,
> wie beweis ich jetzt, dass es element [mm]\IN(inkl.0)[/mm] ist??
Nein
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:03 Do 11.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Tipps:
a) gilt für C=0. Beweise das mit Induktion
Zu b):
$ [mm] \summe_{k=1}^{n}k [/mm] $ ist eine natürlichen Zahl, nenne wir sie m.
Wenn b) richtig wäre, so würde es ein n [mm] \in \IN [/mm] geben mit: 8m=2n+1. Geht das ?
FRED
|
|
|
|
