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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:48 Do 09.12.2004 | | Autor: | i-n |
Es dreht sich um folgende Aufgabe:
Seien n,m [mm]\in\IN [/mm]und[mm] a_k,b_k \in \IK[/mm] für [mm]0 \le k \le n, 0 \le j \le m[/mm] und [mm] a_n\not= 0\not=b_m[/mm]. Zeigen Sie: Gilt für alle [mm]z\in\IK[/mm] die Gleichheit [mm] \summe_{k=0}^{n} a_kz^k = \summe_{j=0}^m b_jz^j[/mm], so ist [mm]n=m[/mm] und für [mm]0 \le k \le n [/mm] auch [mm]a_k=b_k[/mm].
(Hinweis: Um [mm]n=m[/mm] einzusehen, betrachten Sie [mm]\left|z\right|\rightarrow\infty[/mm]. Den Rest erledigen Sie per Induktion, wobei Sie den Induktionsschritt dadurch ausführen, dass Sie [mm]z\mapsto\summe_{k=0}^{n+1}a_kz^k [/mm]und[mm] z \mapsto \summe_{k=0}^{n+1}b_kz^k[/mm] differenzieren.)
Mein Problem dazu: Ich stehe irgendwie wie der Ochse vorm Berg und weiß nicht so recht, wie ich da rangehen soll. Es wäre prima, wenn mir jemand einen Lösungsansatz oder -skizze geben könnte, damit ich dann vielleicht selber weiterkomme.
Vielen Dank schon mal...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Ich weiß nichts, ob dir das weiterhilft, aber ich würde so ganz spontan mal auf Koeffizientenvergleich tippen. Weißt du, was das ist?
Also, du hast ja im Prinzip:
[mm] \summe_{k=0}^{n} a_kz^k [/mm] = [mm] \summe_{j=0}^m b_jz^j[/mm], [/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] a_0 +a_1 [/mm] z + [mm] a_2 z^2 [/mm] + ... + [mm] a_n z^n [/mm] = [mm] b_0+b_1 [/mm] z + [mm] b_2 z^2 [/mm] + ... + [mm] b_m z^m
[/mm]
Allerdings weiß ich dann nicht, wo da Induktion vorkommen soll. Mmh - irgendwie komisch.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:13 Do 09.12.2004 | | Autor: | i-n |
Also Koeffizientenvergleich kann ich, würde ich auch liebendgerne anwenden, es gibt nur zwei kleine Probleme:
1. Unser Prof sieht Koeffizientenvergleich höchst ungerne, weil es in seinen Augen sehr unelegant (in meinen Augen höchstgradig plausibel  )ist.
2. Bis jetzt waren solche Hinweise von ihm in irgendwelchen Übungsaufgaben immer essentiell, bin bisher nie um ihre Anwendung herumgekommen...
Aber trotzdem danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:04 Do 09.12.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo i-n,
ich habe dir hier noch etwas dazu gesagt.
Viele Grüße,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:52 Do 09.12.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Florian!
> Es dreht sich um folgende Aufgabe:
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> Seien n,m [mm]\in\IN [/mm]und[mm] a_k,b_k \in \IK[/mm] für [mm]0 \le k \le n, 0 \le j \le m[/mm]
> und [mm]a_n\not= 0\not=b_m[/mm]. Zeigen Sie: Gilt für alle [mm]z\in\IK[/mm]
> die Gleichheit [mm]\summe_{k=0}^{n} a_kz^k = \summe_{j=0}^m b_jz^j[/mm],
> so ist [mm]n=m[/mm] und für [mm]0 \le k \le n[/mm] auch [mm]a_k=b_k[/mm].
> (Hinweis: Um [mm]n=m[/mm] einzusehen, betrachten Sie
> [mm]\left|z\right|\rightarrow\infty[/mm]. Den Rest erledigen Sie per
> Induktion, wobei Sie den Induktionsschritt dadurch
> ausführen, dass Sie [mm]z\mapsto\summe_{k=0}^{n+1}a_kz^k [/mm]und[mm] z \mapsto \summe_{k=0}^{n+1}b_kz^k[/mm]
> differenzieren.)
>
> Mein Problem dazu: Ich stehe irgendwie wie der Ochse vorm
> Berg und weiß nicht so recht, wie ich da rangehen soll. Es
> wäre prima, wenn mir jemand einen Lösungsansatz oder
> -skizze geben könnte, damit ich dann vielleicht selber
> weiterkomme.
Nun ja, Koeffizientenvergleich darfst du gar nicht machen, du sollst ja beweisen, dass du ihn machen darfst (so verstehe ich zumindest die Aufgabe). Ich würde die Aufgabe so angehen:
Annahme: $n [mm] \not=m$.
[/mm]
Ohne Einschränkung sei dann $n > m$ (insbesondere ist dann $n [mm] \ge [/mm] 1$). Aus
[mm] $(\star)$[/mm] [mm]\summe_{k=0}^{n} a_kz^k = \summe_{j=0}^m b_jz^j[/mm] [m]\forall z \in \IK[/m] folgt:
[m]P(z):=\summe_{k=0}^{n} a_k z^k - \summe_{j=0}^m b_j z^j
=\summe_{k=0}^{m} (a_k-b_k)z^k +\summe_{j=m+1}^n a_j z^j\stackrel{(\star)}{\equiv} 0[/m].
Allerdings ist $P$ ein Polynom vom Grad $n [mm] \ge [/mm] 1$ (da [mm] $a_n\not=0$), [/mm] und was passiert nun bei $|z| [mm] \to \infty$ [/mm] mit einem solchen Polynom? Daraus folgt dann ein Widerspruch, also muss die Annahme [mm] $n\not=m$ [/mm] verworfen werden!
Für den Rest der Aufgabe kann ich dir nur empfehlen, den Tipp über die Induktion mal zu verwenden. Was erhältst du denn, wenn du ableitest? Vielleicht machst du ja nur einen Rechenfehler?
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:12 Do 09.12.2004 | | Autor: | i-n |
Vielen Dank,
ich werde mich in der Nacht mal dran versuchen und für den Fall, dass ich was rausbekomme, hier posten.
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