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| Aufgabe | Bringen Sie die folgenden Matrizen auf Zeilenstufenform:
[mm] A = \pmat{0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1}; B = \pmat{0 & 0 & 16 & -1 & 2 & 0 \\ 0 1 & -1 & 0 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 2 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 1 & -2 & 1} [/mm]
Geben Sie dabei bitte die Matrixmultiplikation mit den Elementarmatrizen an. |
Um zur Klausur zugelassen zu werden, muss ich in den folgenden Übungen immer volle Punktzahl erreichen. Da mir die Korrekteure immer gern halbe Punkte wegen Ungenauigkeiten abziehen, möchte ich euch bitten, bei dieser Aufgabe darauf zu achten, dass alles mathematisch korrekt ist und nicht nur das Ergebnis stimmt.
Matrix A:
Zuerst vertausche ich die Zeilen:
[mm]\pmat{0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0} * \pmat{0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1} = \pmat{1 & 3 & 1 \\ 0 & 1& 0\\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2\\ 1 & 0 & 1}[/mm]
Gleich eine Frage dazu: Kann ich mehrere Schritte in eine Matrixmultiplikation packen?
Wie z.B. so:
[mm]\pmat{ 1 & -3 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1} * \pmat{ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1} = \pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 }
\pmat{1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1} * \pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 } = \pmat{1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm]
Ich poste nachher noch dasselbe zu Matrix B, da ich nun erst einmal noch etwas anderes tun muss.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:17 Mi 02.01.2008 | | Autor: | statler |
Hallo Jennifer!
> Bringen Sie die folgenden Matrizen auf Zeilenstufenform:
>
> [mm]A = \pmat{0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1}; B = \pmat{0 & 0 & 16 & -1 & 2 & 0 \\ 0 1 & -1 & 0 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 2 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 1 & -2 & 1}[/mm]
>
> Geben Sie dabei bitte die Matrixmultiplikation mit den
> Elementarmatrizen an.
> Um zur Klausur zugelassen zu werden, muss ich in den
> folgenden Übungen immer volle Punktzahl erreichen. Da mir
> die Korrekteure immer gern halbe Punkte wegen
> Ungenauigkeiten abziehen, möchte ich euch bitten, bei
> dieser Aufgabe darauf zu achten, dass alles mathematisch
> korrekt ist und nicht nur das Ergebnis stimmt.
>
> Matrix A:
> Zuerst vertausche ich die Zeilen:
> [mm]\pmat{0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0} * \pmat{0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 1} = \pmat{1 & 3 & 1 \\ 0 & 1& 0\\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2\\ 1 & 0 & 1}[/mm]
>
> Gleich eine Frage dazu: Kann ich mehrere Schritte in eine
> Matrixmultiplikation packen?
Im Prinzip ja, aber in deiner Aufgabe steht:
> Geben Sie dabei bitte die Matrixmultiplikation mit den
> Elementarmatrizen an.
Also mußt du genau die Dinger hinschreiben, sonst gehen wertvolle halbe Punkte flöten.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Erst einmal danke für deine Antwort
> >
> > Gleich eine Frage dazu: Kann ich mehrere Schritte in eine
> > Matrixmultiplikation packen?
>
> Im Prinzip ja, aber in deiner Aufgabe steht:
> > Geben Sie dabei bitte die Matrixmultiplikation mit den
> > Elementarmatrizen an.
> Also mußt du genau die Dinger hinschreiben, sonst gehen
> wertvolle halbe Punkte flöten.
Also heißt das, jeden Schritt explizit aufschreiben? Wenn meine Notizen stimmen, wären das mindestens 9 Matrixmultiplikationen. Braucht enorm viel Platz. Oder kann ich zumindest das Vertauschen der Zeilen in einer Matrixmultiplikation machen?
Eigentlich überspringe ich damit doch keinen Schritt, da ich alle Veränderungen an einer Elementarmatrix vornehme, mit der ich dann von links multipliziere. Oder habe ich schon wieder einen Denkfehler drin?
Ich finde meine Informatikvorlesungen um einiges leichter als das.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:41 Mi 02.01.2008 | | Autor: | statler |
Mahlzeit Jennifer!
> Erst einmal danke für deine Antwort
> > >
> > > Gleich eine Frage dazu: Kann ich mehrere Schritte in eine
> > > Matrixmultiplikation packen?
> >
> > Im Prinzip ja, aber in deiner Aufgabe steht:
> > > Geben Sie dabei bitte die Matrixmultiplikation mit
> den
> > > Elementarmatrizen an.
> > Also mußt du genau die Dinger hinschreiben, sonst gehen
> > wertvolle halbe Punkte flöten.
>
> Also heißt das, jeden Schritt explizit aufschreiben? Wenn
> meine Notizen stimmen, wären das mindestens 9
> Matrixmultiplikationen. Braucht enorm viel Platz. Oder kann
> ich zumindest das Vertauschen der Zeilen in einer
> Matrixmultiplikation machen?
> Eigentlich überspringe ich damit doch keinen Schritt, da
> ich alle Veränderungen an einer Elementarmatrix vornehme,
> mit der ich dann von links multipliziere. Oder habe ich
> schon wieder einen Denkfehler drin?
1. Was genau sind denn bei euch Elementarmatrizen?
2. Dürfen in der Zeilenstufenform nur Einsen vorkommen?
Eine Matrix, die 2 Zeilen miteinander vertauscht, ist ganz sicher eine Elementarm. Ist eine Matrix, die 3 oder mehr Zeilen umsortiert, auch noch eine? Das kann ich so nicht wissen. Wenn ja, kannst du so eine nehmen, andernfalls kommst du der in der Aufgabe geäußerten Bitte nicht nach.
Wenn [mm] E_{i} [/mm] die Elementarm. sind und [mm] E_{9}* [/mm] ... [mm] *E_{1}*A [/mm] = Zeilenstufenm., dann kannst du nach den Rechenregeln für Matrizen die [mm]E_{i}[/mm]s auch zusammenmultiplizieren, mathematisch ist das korrekt, ob der Aufgabentext bzw. dein Hiwi das zuläßt, weiß ich so nicht.
Gruß
Dieter
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Hier wie angekündigt dasselbe für Matrix B. Wäre auch hier für strenge Korrektur dankbar.
[mm]\pmat{0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0} * \pmat{0 & 0 & 16 & -1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 2 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 1 & -2 & 1} = \pmat{ 0 & 1 & -1 & 0 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 2 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 16 & -1 & 2 & 0 }[/mm]
[mm] \pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}*\pmat{ 0 & 1 & -1 & 0 & 2 & -2 \\ 0 & -1 & 2 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 16 & -1 & 2 & 0 }=\pmat{ 0 & 1 & -1 & 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 16 & -1 & 2 & 0 }
[/mm]
[mm] \pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1}*\pmat{ 0 & 1 & -1 & 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 16 & -1 & 2 & 0 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 & -1 & 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 16 & -1 & 2 & 0 }
[/mm]
[mm] \pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -16 & 0 & 1}*\pmat{ 0 & 1 & -1 & 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 16 & -1 & 2 & 0 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 & -1 & 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & -30 & 16 }
[/mm]
[mm] \pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1}*\pmat{ 0 & 1 & -1 & 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & -30 & 16 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 & -1 & 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -30 & 15 }
[/mm]
[mm] \pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \bruch{1}{2}}*\pmat{ 0 & 1 & -1 & 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -30 & 15 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 & -1 & 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 1 }
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:26 Mi 02.01.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> [mm]\pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \bruch{1}{2}}*\pmat{ 0 & 1 & -1 & 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -30 & 15 }[/mm]
> = [mm]\pmat{ 0 & 1 & -1 & 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 1 }[/mm]
>
Erstens ist das falsch, rechne mal nach. Zweitens weiß ich immer noch nicht, ob die linke Matrix eine Elementarmatrix ist. Und drittens wozu diese Aktion? Wenn in der Zeilenstufenform jede Zeile mit einer 1 anfangen soll, dann tut es das hier doch nicht.
Der Kram davor ist iO.
Gruß
Dieter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:43 Do 03.01.2008 | | Autor: | Syladriel |
Danke für deine Antwort.
Hab nen gedanklichen Dreher reingebracht.
> > [mm]\pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \bruch{1}{15}}*\pmat{ 0 & 1 & -1 & 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -30 & 15 }[/mm]
> > = [mm]\pmat{ 0 & 1 & -1 & 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 1 }[/mm]
Zeilenstufenform ist, wenn unter der ersten Zahl einer Zeile nur noch Nullen stehen. Wenn zusätzlich hinter den Zahlen auch nur Nullen stehen, ist das eine reduzierte Zeilenstufenform. Wenn du ein lineares Gleichungssystem hast, kannst du dann das Ergebnis einfach ablesen.
Elementarmatrizen sind Matrizen, die in der Diagonale nur Einsen stehen haben.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:38 Fr 04.01.2008 | | Autor: | statler |
Hallo Jennifer!
> Hab nen gedanklichen Dreher reingebracht.
>
> > > [mm]\pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \bruch{1}{15}}*\pmat{ 0 & 1 & -1 & 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -30 & 15 }[/mm]
> > > = [mm]\pmat{ 0 & 1 & -1 & 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 1 }[/mm]
>
> Zeilenstufenform ist, wenn unter der ersten Zahl einer
> Zeile nur noch Nullen stehen. Wenn zusätzlich hinter den
> Zahlen auch nur Nullen stehen, ist das eine reduzierte
> Zeilenstufenform. Wenn du ein lineares Gleichungssystem
> hast, kannst du dann das Ergebnis einfach ablesen.
Das könnte OK sein.
> Elementarmatrizen sind Matrizen, die in der Diagonale nur
> Einsen stehen haben.
Das glaub ich nicht. Mit solchen Matrizen könntest du keine Zeilen vertauschen. Deine erste Matrix oben ist dann übrigens keine Elementarmatrix.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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http://de.wikipedia.org/wiki/Elementarmatrix