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| Aufgabe | Sei K Körper, [mm] $A\in K^{m\times n}$ [/mm] mit den Spalten [mm] $a_{1},...,a_{n}\in K^{m}$, [/mm] und [mm] $B\in K^{m\times n}$ [/mm] mit Spalten [mm] $b_{1},...,b_{n}\in K^{m}$ [/mm] eine zugehörige Zeilenstufenform. Zeige, dass dann für [mm] $\lambda_{1},...,\lambda_{n}\in [/mm] K$ gilt:
[mm] $\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}*a_{i} [/mm] = [mm] 0\quad \gdw \quad \sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}*b_{i} [/mm] = 0$ |
Hallo!
Bei der obigen Aufgabe habe ich einige Fragen.
Wir haben in der Vorlesung sehr wenige Eigenschaften von Matrizen / Zeilenumformungen / Zeilenstufenform bereitgestellt bekommen.
Meine erste Frage wäre: Darf ich annehmen, dass B aus elementaren Zeilenumformungen aus A entstanden ist? Wir haben einen Satz gehabt, der sagt, dass sich jede Matrix A durch Zeilenumformungen in eine Zeilenstufenform bringen lässt; damit ist das ja aber an sich noch nicht klar, was ich zeigen möchte...
Dann könnte ich einfach die beiden elementaren Zeilenumformungen untersuchen (Multiplikation mit Skalar / Addition einer Zeile auf eine andere) und würde sehen, dass die Äquivalenz nach einem solchen Schritt immer noch gilt.
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Oder gibt es einen "direkten" Weg?
Was wir wissen, ist, dass nach elementaren Zeilenumformungen der Raum, der durch die Zeilen der Matrix A erzeugt wird, gleich bleibt.
Ich weiß nicht, ob wir das für den Spaltenraum benutzen dürfen...
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Di 15.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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