Zeilenstufenform *durchdreh* < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Sei C der lineare Code über [mm] \IF_{4} [/mm] mit der Erzeugermatrix [mm] \pmat{ w & 1 & 0 & 1 & w & 0 & w & 1 \\
w & w & 1 & 0 & 0 & w+1 & 0 & 1 \\
1 & w & w & 1 & 1 & 1 & 1 & w+1 \\
1 & 1 & w+1 & 0 & w+1 & 0 & 1 & 1 } [/mm] |
Hallo,
die o.a. Matrix versuche ich zunächst auf Zeilenstufenform zu bringen. Hierdran scheitere ich komplett, es ist zum Haareausraufen.
In der Musterlösung ist die Zeilenstufenform der o.a. Matrix mit
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & w & 0 & 0 & w+1 & 0 \\
0 & 1 & w & w & 0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 }
[/mm]
angegeben.
Gibt es evtl. besondere Regeln, die man bei der Anwendung des Gauss-Algorithmus bei Matritzen über endliche Körper beachten muß?
Ich komm auf jedes andere Ergebnis, nur o.g. nicht...
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. )
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:13 Di 15.08.2006 | | Autor: | statler |
Hallo, guten Tag!
> Sei C der lineare Code über [mm]\IF_{4}[/mm] mit der Erzeugermatrix
> [mm]\pmat{ w & 1 & 0 & 1 & w & 0 & w & 1 \\
w & w & 1 & 0 & 0 & w+1 & 0 & 1 \\
1 & w & w & 1 & 1 & 1 & 1 & w+1 \\
1 & 1 & w+1 & 0 & w+1 & 0 & 1 & 1 }[/mm]
Sind dir denn die Rechenregeln in [mm] \IF_{4} [/mm] geläufig? Wahrscheinlich ist das das Problem.
Ich geb dir mal die wichtigsten Multiplikationsregeln:
[mm] w^{2} [/mm] = w+1
[mm] (w+1)^{2} [/mm] = w
w(w+1) = 1
Und jetzt kannst du ganz nach Schema F loslegen! Viel Glück!
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
Hallo Dieter,
vielen Dank für Deine Antwort.
So etwas habe ich mir schon gedacht, habe aber bei der Übrprüfung den Fehler gemacht, für das "w" entsprechende Werte aus [mm] \IF_{4} [/mm] einzusetzen, was natürlich die Ergebnisse verfälscht hat (Bsp.: [mm] w^{2}, [/mm] w=2: 4 = 0 != w+1=2+1 =3 ). Natürlich ist es aber so gemeint:
[mm] \IF_{4} [/mm] := [mm] \{0, 1, w, w^{2} = w+1\} [/mm]
Deshalb meine Fragen: Wie kann ich die Rechenregeln in den endlichen Körpern herleiten, inbs.: Kann ich diese Rechenregeln auf jeden endlichen Körper anwenden? Wie kommt man z.B. auf [mm] (w+1)^{2} [/mm] = w? Und: Wie kann ich diese Multiplikationsregeln auf bspw. [mm] \IF_{8} [/mm] übertragen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:08 Di 15.08.2006 | | Autor: | statler |
Hallo!
Vorweg ein Trost: Dies Gerechne in endlichen Körpern ist etwas gewöhnungsbedürftig, aber letztlich sehr leicht. Man kennt kaum eine algebraische Struktur so gut wie die der endlichen Körper. Und da diese Dinger in der Kryptographie z. B. eine große Rolle spielen, müssen auch Informatiker auf der Ecke firm sein.
Um die vollständige Theorie hier zu entwickeln, sind der Platz und meine Zeit doch etwas knapp. Es gibt hier im Forum mehrere Diskussionen mit VerenaB, wo felixf und ich uns zu diesem Thema ausgelassen haben.
Und sonst verweise ich auf ein gutes Algebra-Buch (S. Lang z. B.) und fordere dich auf, dir mal [mm] \IF_{8} [/mm] zusammenzubasteln (mit trial and error). Du kriegst hier auch Hilfe, klar.
Gruß aus Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Fr 15.09.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
